27.Необходимы признак сходимости числового ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то   u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если  u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд   расходится, так как

u_n= .

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

         (6)

расходится, хотя  u_n=

Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.

28.Гармонический ряд и его сходимость.

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.

Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим среднимдвух соседних.

Сумма первых n членов ряда Править

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, нопредполагается чтосумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой s_n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:

Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):

S1 = 1;

S5 = 137/60 = приблизительно 2,283

Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.

Формула Эйлера 

Частичные суммы Править

n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.

Связанные ряды Править

Ряд Дирихле Править

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, дзета-функции Римана от аргумента α=2 равна числу пи в квадрате деленному на 6 , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд Править

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью.

Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса, известного как ряд Лейбница.

Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.

Случайный гармонический ряд Править

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда, в котором числителислагаемых рядаsn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от 1/8 на менее чем 10⁻⁴². Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.