Сопротивление материалов Задача 1. Расчет стержней при центральном растяжении ( сжатии).

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см²) с размерами см;см,см и площадью поперечного сечения нижнего участкасм², а верхнего – см² нагружен внешними осевыми силами кН икН (см. рис.). Построить эпюры продольных сили нормальных напряжений. Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести)кН/см², а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

№ вар.	а	b	c	Fн	Fв	P1	P2
1	100	100	300	10	40	100	500
2	110	110	290	18	42	110	490
3	120	120	280	12	44	120	480
4	130	130	270	14	46	130	470
5	140	140	260	16	48	140	460
6	150	150	250	18	50	150	450
7	160	160	240	20	51	160	440
8	170	170	230	22	52	170	430
9	180	180	220	24	52	180	420
10	190	190	210	26	54	190	410
11	200	200	400	28	55	200	400
12	210	210	300	30	56	210	390
13	220	230	290	29	56	220	380
14	230	220	270	28	57	230	370
15	240	250	270	27	58	240	360
16	250	240	260	26	59	250	350
17	260	270	300	25	60	260	340
18	270	260	310	24	61	270	330
19	280	290	320	23	62	280	320
20	290	300	330	22	63	290	310

 

Решение.

1.Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке.

Учитывая, что , направим опорную реакциювниз. Тогда из уравнения равновесиянаходим:

 кН.

2.Строим эпюру продольных сил .

Разбиваем длину стержня на три участка (рис. а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений (РОЗУ). Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Начнем с сечения 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягиваетрассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что

 кН.

Переходим к сечению 2 – 2 (рис. в). Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а силаее сжимает (напомним, что2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующаясжатию, то есть направленная к сечению. Она равна: 

 кН.

Делаем сечение 3 – 3 (рис. г). Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную)сжимающую силу R. Поэтому она направлена к сечению и равна:

 кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействуетсжатию. Она равна:

 кН.

При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков:внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию.

Это правило знаков вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформациясжатия, поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводимтонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения  внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис.д, никак не сказывается на характере эпюры .

3.  Строим эпюру нормальных напряжений .

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и– продольная сила и площадьk–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно

 кН/см²,

во втором –

 кН/см²,

в третьем –

 кН/см².

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис.е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на  эпюре«скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.

4.   Оцениваем прочность стержня.

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, сдопускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, какпластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

 кН/см².

Условие прочности имеет вид . В нашем случае

 кН/см² > кН/см²,

следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см², нам необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:

 см².

Принимаем на втором участке см². 

5. Вычисляем удлинение всего стержня .

При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.

Тогда

 см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на 1,7 мм.

Вопросы для защиты.

1.Что такое прочность, жесткость, устойчивость?

2.В чем сущность метода сечений?

3.Что такое напряжение и в каких единицах измеряется?

4.Какие известны виды деформаций?

5.Какая деформация называется центральным растяжением (сжатием)?

6.Какие формулы, выражающие закон Гука, Вы знаете?

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М₁, M₂, M₃, M₄. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при  заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной:30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М₁ = М₃ = 2 кНм,  М₂ = М₄ = 1,6 кНм,  а = b = с = 1,2 м,   = 80 МПа.

№ вар.	M1	M2	M3	M4	a	b	c
1	2	1	4	6	1,0	2,9	2,0
2	3	2	5	7	1,1	2,8	2,1
3	4	3	6	8	1,2	2,7	2,2
4	5	4	7	9	1,3	2,6	2,3
5	6	5	8	10	1,4	2,5	2,4
6	7	6	9	11	1,5	2,4	2,5
7	8	7	10	12	1,6	2,3	2,6
8	9	8	11	13	1,7	2,2	2,7
9	10	9	12	14	1,8	2,1	2,8
10	11	10	13	15	1,9	2,0	2,9
11	12	11	14	16	2,0	1,9	3,1
12	13	12	15	17	2,1	1,8	3,2
13	14	13	16	18	2,2	1,7	3,3
14	15	14	17	19	2,3	1,6	3,4
15	16	15	18	20	2,4	1,5	3,5
16	17	16	19	21	2,5	1,4	3,6
17	18	17	20	22	2,6	1,3	3,7
18	19	18	2`	23	2,7	1,2	3,8
19	20	19	22	24	2,8	1,1	3,9
20	21	20	23	25	2,9	1,0	4,0

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр М_кр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

 кНм,

II участок (СД):

 кНм,

III участок (СВ):

 кНм,

IV участок (ВА):

 кНм.

По значению этих моментов строим эпюру М_кр в выбранном масштабе. Положительные значения М_кр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры.

 

2. При заданном значении определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

.

- максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры М_кр .

 кНм;

 - полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

. 

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

.

где - жесткость сечения вала при кручении.

Н/м²;

 - полярный момент инерции круглого вала

м⁴.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

 рад,

 рад,

рад,

рад.

Строим эпюру углов закручивания.

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

Вопросы для защиты.

1.Какие напряжения возникают в поперечных сечениях при кручении?

2.Что такое полярный момент сопротивления?

3.Напишите условие прочности при кручении.

4.Какая деформация возникает при кручении?

5.При какомнагружении возникает кручение?

Задача 3. Расчет балки на прочность при изгибе.

№ вар.	F,кН	M,кНм	q,кН/м	a1,м	a2,м	l,м
1	2	20	2	1,0	2	5
2	3	21	2	1,1	2	5
3	4	22	2	1,2	3	5
4	5	23	3	1,3	3	5
5	6	24	3	1,4	4	5
6	7	25	3	1,5	4	5
7	8	25	4	1,6	2	5
8	9	27	4	1,7	2	5
9	10	28	4	1,8	2	5
10	11	29	5	1,9	2	5
11	12	30	5	2,0	3	6
12	13	31	5	2,1	3	6
13	14	32	2	2,2	1	6
14	15	33	2	2,3	1	6
15	16	34	2	2,4	1	6
16	17	35	3	2,5	2	6
17	18	36	3	2,6	2	6
18	19	37	3	2,7	2	6
19	20	38	1	2,8	1	6
20	21	39	2	2,9	1	6