Вопрос 10. Теорема суммы вероятностей несовместных событий. Зависимые и независимые случайные величины.

Часть 1 Теорема суммы вероятностей несовместных событий.

Теорема1. вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий т.е. P(A+B)= P(A)+P(B)

Доказательство. Пусть n- общее число равновозможных элементарных несовместных событий испытания, в результате которого может произойти или событие А или событие В, m в степени А –число элементарных событий, благоприятствующих событию А, m в степени в - число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Так как события А и В несовместны , то событию А+В благоприятствует m в степени А + m в степени B элементарных событий из общего числа n равновозможных совместных элементарных событий. Поэтому P(A+B)= P(A)+P(B). Теорема доказана . Теорема 1 может быть обобщена.

Теорема 2.Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1. если события А1,А2,….,Аn образуют полную группу попарно несовместных событий , то сумма их вероятностей равна 1.

Следствие 2. сумма вероятностей противоположных событий равна1.

Часть 2. Зависимые и независимые случайные величины.

Случайные величины x и y называются независимыми если их совместная функция распределения F(x,y) представляется в виде произведения функции распределения F1(x) и F2(y) этих случайных величин. F(x,y)= F1(x) умножить F2(y). В противном случае (при невыполнении равенства) случайные величины называются зависимыми. Продифференцируем F(x,y)= F1(x) умножить F2(y).- аналог условия независимости x и y.

Вопрос 13.Формула полной вероятности.

Пусть А может произойти только с одним из событий H1,H2,,,,,,Hn образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Доказательство. Событие А может наступить если появиться одно из событий H1,H2,,,,,,Hn. Это означает что появление события А влечет появление одного из событий H1A,умноженного H2A,……, HnA, не важно какого. Поэтому событие А= H1A+ H2A+…..+ HnA. Так как события H1,H2,,,,,,Hn по условию попарно несовместны то очевидно что события H1A, H2A,….., HnA так же несовместны. Применяя теорему сложения для несовместных событий получаем: P(A)=P(H1A)+ P(H2A)+…..+P(HnA). Применяя далее теорему умножения вероятностей получим:

Вопрос 7.Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g с измеримой границей. В область G наудачу бросается точка .Рассматривается событие А заключающееся в том что точка брошенная на удачу в область G попадет в область g. Термин «брошенная на удачу» означает что точка может попасть в любое место области G вероятность попадания в какую либо часть области G пропорциональна мере этой части(длине, площади и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы. определение (геометрическое определение вероятности). Геометрической вероятностью события А( попадания в область g)при бросании на удачу точки в область G называют величину :P(A)=mes g/mes G(1) ,в которой mes G- мера(длина, площадь и т.д.) области G, mes g- мера(длина, площадь и т.д.) области g. Замечание :недостаток формулы (1) заключается в том что для бесконечного числа исходов нельзя дать объективного, не зависящего от способа расчета величин mes G и mes g определения вероятности.