Вопрос 21.Математические операции над случайными величинами

Прерывные случайные величины X и Y называются независимыми, если не зависимы при любых i и j, события X=x_i и Y=y_j.

Пусть случайная величина X принимает x₁, x₂, x₃, …, x_n с вероятностями p₁, p₂, p₃ ,…, p_n, соответственно, а Y-значения y₁, y₂, y₃, …, y_m, с вероятностями q₁, q₂, q₃, …, q_m.

а) Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X+Y, которая принимает все значения  вида z_ij=x_i+y_j(i=1,2,..n; j=1,2,...,m) с вероятностями p_ij, причемp_ij=P(X=x_i; Y=y_j)=P(X=x_i)*P_X=xi(Y=y_j).

Если случайные величины X и Y независимые, то p_ij= p_i+ q_j.

Аналогично определяется разность и произведение случайных величин.

б) Разностью ( произведением) случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X-Y (Z=XY), которая принимает все значения вида z_ij=x_i-y_j   (z_ij=x_iy_j) с такими же вероятностями, с какими случайная величина Z=X+Y принимает соответствующие значения, т.е. p_ij= p_i+ q_j.

в) Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z=kX, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k, т.е. =x_i².

г) Квадратом случайной величины Х, т.е. Х², называется новая случайная величина Z=X², которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные квадратам значений случайной величины Х, т.е. z_i=x_i²

Вопрос 22. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ      Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x случайной величиныX вероятность того, что величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).      Распределение вероятностей дискретной случайной величины может быть задано перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин. Общим способом задания распределений любых типов случайных величин является интегральная функция распределения. Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть вероятность события X < x обозначим через F(x). Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Интегральная функция распределения имеет следующие свойства.       1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку (0,1): 0  F(x)  1. Следовательно, график интегральной функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1.       2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x₂)  F(x), если x₂ > x₁. Следовательно, при возрастании x в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график интегральной функции распределения поднимается вверх.       3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то F(x) = 0 при a  x, F(x) = 1 при x  b. То есть при a  x ординаты графика интегральной функции распределения равны нулю; при x  b ординаты графика равны единице. Для дискретной случайной величины график интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид.