Вопрос 36. Центральная предельная теорема.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

Вопрос 11 часть 1 условная вероятность часть 2 теорема умножения

Часть 1 условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью   (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем 

Часть 2 теорема умножения

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

(4)

   Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2, ..., ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает

;  ; 

   Таким образом,

   Поменяв местами A и B, аналогично получим

(5)

   Из формул (4) и (5) имеем

(6)

   Теорема умножения легко обобщается на любое , конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A1, A2, A3 имеем *

   В общем случае

Вопрос 16 .Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p,

причем:

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероятнейшее чиcло k₀;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k₀ = nр.

Пример. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Решение. По условию, n= 15, р = 0,9, q=0,1. Найдем наивероятнейшее число k₀ из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p.

Подставив данные задачи, получим

15*0,9-0,1 ≤k₀< 15*0,9+0,9, или 13,5≤k₀< 14,4.

Так как k₀ — целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k₀ = 14.