14. Поле бесконечного заряженного шара (сферы):

Заряд с поверхностной плотностью  распределен по сфере радиуса R:



R

r

Е

|E| - const;

Ф_Е = _SoE_ndS = E odS = E 4r² = = (1/₀) 4R²

q =  4R²

E_наружн = (R²)/(₀r²) = q/(4₀r²)

E _внутр = 0

E

E_r

~1/r

r

R

Заряд с поверхностной плотностью  распределен по шару радиуса R:

Ф = Е 4r² = (/₀) 4/3 R³

q_наружн = V =  4/3 R³

E_наружн = (R²)/(₀r²) = q/(4₀r²)

E _внутр = (r)/(3₀₁)

E

1

E_r

2

r

_R

Шар с (r):

E_наружн = q/(4₀₂r²)

dq = (r’) 4r’ dr’

r’ – толщина внутреннего слоя;

q = ₀^R(r’) 4r’² dr’

E_наружн = (4 ₀^R(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₂r²); _r

E_внутр = (4 ₀(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₁r²);

Шар с полостью:

E_наружн = (4 _R1^R2(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₂r²); _r

E_внутр = (4 _R1(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₁r²).

15. Потенциал ():

] поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. ] точечный заряд q’, на который действует сила:

F = 1/(4₀)_*(qq’)/r²

Работа, совершаемая над зарядом q’ при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути

A₁₂ = ₁² F(r)dr = (qq’)/(4₀)_r1^r2dr/r².

Иначе ее можно представить, как убыль потенциальной энергии:

A₁₂ = W_p1 – W_p2.

При сопоставлении формул получаем, что W_p = 1/(4₀)_*(qq’)/r.

Для исследования поля воспользуемся двумя пробными зарядами q_ПР’ и q_ПР’’. Очевидно, что в одной и той же точке заряды будут обладать разной энергией W_p’ и W_p’’, но соотношение W_p/q_ПР будет одинаковым.

 = W_p/q_ПР = 1/(4₀)_*q/r называется потенциалом поля в данной точке и, как напряженность, используется для описания электрического поля.

] поле, создаваемое системой из N точечных зарядов. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q’, будет равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждым из q_N над q’ в отдельности:

A = _{i = 1}^NAi, где Ai = = 1/(4₀)_*(q_iq’/r_i1 - q_iq’/r_i2), где r_i1 - расстояние от заряда q_i до начального положения заряда q’, а r_i2 – расстояние от q_i до конечного положения заряда q’.

Следовательно Wp заряда q’ в поле системы зарядов равна:

Wp = 1/(4₀)_{*i = 1}^N(q_iq’)/r_i , то

 = 1/(4₀)_{*i = 1}^N(qi/r_i), следовательно потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Заряд q, находящийся в точке с потенциалом  обладает энергией

Wp = q, то работа сил поля

A₁₂ = Wp₁ –Wp₂ = q(₁ - ₂).

Если заряд из точки с потенциалом  удалять в бесконечность, то A = q, то  численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.