1.Матрицы:основные понятия, операции над матрицами.

Матрица-прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов с размерами mx n.

Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначатся большими латинскими буквами. Элементы матрицы – маленькими латинскими. Каждый элемент матрицы имеет 2 индекса, первый из которых размер строки, второй – номер столбца, в котором располагается элемент матрицы.

В общем виде матрица выглядит:

Виды матрицы.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой(вектор-строкой).Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом(вектор-столбцом).Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов называется квадратной матрицей n-ого порядка, где n-количества строк или столбцов.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нули называется единичной матрицей.

Действия над матрицами.

Умножение матрицы на число.

Сложение матрицы(складываем нужные матрицы одного размера)

Произведение матрицы(произведение двух матриц существует тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк 2ой матрицы.)

Возведение в степень(возводить в степень можно только квадратные матрицы.)n-ая степень квадратной матрицы А называется произведением матрицы А на себя n раз.

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А, при которой строки и столбцы меняются друг с другом с сохранением порядка. Матрица А(С индексом т)называется транспонированной по отношению к матрице А.

2. Определители квадратных матриц. Свойства. Теорема Лапласса.

Определитель матрицы-это число, характеризующее матрицу.

Определитель матрицы второго порядка находится….из произведения главной диагонали вычитаем произведение побочной диагонали

Определитель матрицы третьего и выше порядка находится по правилу треугольника(правило Сариуса).

Минором называется определитель матриц (nого порядка, который получается из исходной матрицы путем вычеркивания iой строки и jого столбца.

Алгебраическим дополнением квадратной матрицы называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.

Теорема Лапласа. Определитель матрицы nого порядка равен сумме произведениюэлемента какой-либо строки(столбца)матрицы на их алгебраические дополненияю

Свойства матрицы:

1)Элемент какой-либо строки(столбца) умножить на число, отличное от нуля

2) Если какая-либо строка(столбец)матрицы состоит их одних то определитель равен нулю.

3)Если матрица содержит 2 одинаковых строки(столбец), то определитель равен нулю.

4)Если матрица содержит 2 пропорциональные строки(столбца) то определитель равен нулю

5)при транспонировании матрицы определитель не меняется.

6)Определитель матрицы не изменится, если элемент какой-либо строки(столбца) прибавить элемент другой строки(столбца) педварительно умноженной на некоторое число отличное от нуля.

7)Определитель суммы двух матриц равен сумме определителей этих маатриц.

3. Обратная матрица.Обратная матрица существует только у квадрата, но не всякая квадратная матрица имеет обратную.

Матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.Матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Матрица А(-1)называется обратной к матрице А, если верно равенство:А*А(-1)=А(-1)*А=Е.

Теорема.(Критерии существования обратной матрицы)

Обратная матрица А(-1) существует и единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1.Находим определитель исходной матрицы, если он равен нулю, то матрица вырожденная, следовательно обратная матрица не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица является невырожденной, тогда переходим к пункту 2..

2.Транспонируем исходную матрицу

3.Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.Составляем из них матрицу А(с волной), которая называется присоединенной.

Формула: