4. Понятие ранга матрицы.Теорема о ранге матрицы.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Св-ва ранга матрицы:

1.Ранг матрицы не превосходит минимальных ее размеров

2Ранг матрицы равен нулю у нулевой матрицы.

3.Ранг кв матрицы n(ого)порядка равен n тогда и только тогда, когда данная матрица невырожденна.

Элементарные преобразования матрицы

1.Отбрасывание нулевой строки(столбца)

2.Изменение порядка строк(столбцов) матрицы.

3.Умножение элементов матрицы на некоторое число.

4.Прибавление элементов какой-либо строки(столбца) матрицы элемента другой строки(столбца), умноженных на некоторое число, отличное от нуля.

5.Транспонирование матрицы.

ТЕОРЕМА

Ранг матриц не меняется при элементарных преобразованиях.

Матрица называется ступенчатая, если она имеет вид:

Определитель кв. матрицы ступенчатого вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными выглядит след. Образом:

Решением системы (1)называется такой набор чисел(х1=х1,х2=х2,..,хn=xn), при подстановке которого в систему каждое уравнение обращается в верное.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.В противном случае она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет динмтвенное решение.

Совместная система называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Метод обратной матрицы.

А*Х=В

Алгоритм:

1.Пркдставляем систему в матричном виде.

2.Неизвестную матрицу Х находим по формуле.

Недостатки:

1.Данным методом можно решать системы, в которыхх число уравнений совпадает с числом неизвестных.

2.Можно решать системы, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля.

3.Трудоемкий метод.

6. Метод Крамера.

Данный метод можно применять для решения систем, в которых число уравнений совпадает с числом переменных.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА.

Пусть дельта-определитель матрицы коэффициентов, дельта житая-определитель марицы, полученной из матрицы коэффициентов заменой j-ого столбца столбцом свободных членов.

ФОРМУЛА:

Недостатки:

1.Данным методом можно решать системы. У которых число уравнение совпалает с числом переменных.

2.Можно решать системы, у котторых определтель матрицы отличен от нуля.

3.Досаточно трудоемкий метод.

7. Метод Гауса.

Прямой ход Гауса:

От системы линейных уравнений переходим к расширенной матрице системы, т.е.к матрице. У которой элементы явл. Коэффициентами при переменных

С помощью элементарных преобразований расширенная матрица приводится к ступенчатому треугольному методу.

Обратный ход Гауса.

Зааписываем систему уравнений, исходя из матрицы ступенчатого или треугольного вида.Начиная с последних уравнений, последовательно находим неизвестное.

Преимущества:

1.Данным методом можно решить произвольную систему.

2.Данный метод позволяет ответить на вопрос: Совместны системы или нет…В случае совместимости – является ли система определенной или неопределенной.