8. Системы m линейных уравнений с n переменными.

Т. Кронекера-Капелии

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

r>n

х1,х2..,хr,определители матрицы, коэффициенты которой отличны от нуля, называются базисными. Остальные переменные называются свободными.

9. Модель Леонтьева межотраслевого баланса.

Межотраслевой баланс в эк-ке –этометод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Цель балансового анализа-определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

10. Комплексные числа: формы записи, действия над комплексными числами.

Комплексным числом называется выражение Z=a+bi., где а,в-действительные числа,i-мнимая единица.i^2=-1.а-действительная часть числа, в-мнимая часть числа.

Все действительные числа являются комплексными. Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Всякое комплексное число можно представить точкой на плоскости, у которой абсцисса ровна действительной части, а ордината-мнимой части.

Формы записи комплексных чисел:

1.Алгебраическая

2.Тригонометрическая

3.Показательная(форма Эйгера)

Действия над комплексными числами:

1.Сложение

2.Вычитание

3.Умножение

4.Деление

5.Возведение в степень.

6.Извлечение корней

11. Скаляры и векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Различают 2 вида величин:одни целиком характеризуются своим числовым значением(скаляром).Другие характеризуются не только числовым значением, но и направлением и называются вектором.Вектора, параллельные одной и той же прямой называются комплементарными.

Сложение векторов: при сложении комплементарных векторов конец первого вектора совмещают с началом второго, а результирующий вектор суммы берет свое начало в начале 1 вектора и заканчивается в конце 2.

Вычитание вектора:

Умножение вектора на число: произведение вектора а на число (лямбда) называется вектор (лямбда)а.Этот вектор имеет длину модуль (лямбда)а и направление как у вектора а, если лямбда больше нуля, и противоположное вектору а, если лямбда меньше нуля.

Операции над веторами:

Скалярное произведение векторов а и в называется число, равное произведению модуля этих векторов на косинус угла между ними.

12. Векторное произведение векторов а и в называется вектор С, обладающий след. св-вами:

1.Его длина определяется по фор-ле:

2.

3.Вектор, с направление так, что кратчайший поворот вектора а к вектору в виден с конца с и совершается против хода часовой стрелки.

Обозначается:

13. Смешанным произведением векторов a ,b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному произведению векторов b и c.

Обозначается: вектор а*в*с или (а,в,с ).

Смешанное произведение авс по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,в и с.

14 .n-мерный вектор и векторное пространство, размерность и базис векторного пространства.

n-мерным вектором называется совокупность действительных чисел, записанных в виде х=(х1,х2,…,хn), где хi=i-тая компонента вектора.

Сумма двух векторов х и y одинаковой размерности называется вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонентов векторов х и y.

Произведением вектора х на действительное число альфа называется вектор, компоненты которого равны произведению числа альфа на соответствующие компоненты вектора х.

Множество векторов с действительными компонентами опредееляют операции сложения и умножения вектора на число, которые удовлетворяют свойствам линейных операций, называется линейным пространством.В этих св-вах х,у,z-векторы, альфа и бетта – действительные числа.

Xn называется линейная комбинация векторов Х1,Х2,….,Хn-1, если верно равенство:

Векторы Х1,Х2,…,Хn называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна 0.

Векторы Х1,Х2,..,Хn называются линейно зависимыми, если их линейные комбинации……………

причем хотя бы одно .

Линейным пространством К называется n-мерным, если в нем существуют линейные независимые вектора, а любые ( ) вектора являются линейно зависимыми.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в пространстве линейно независимых векторов

Совокупность R линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом.

Т.Всякий вектор х линейного пространства R можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса.