2. 4. Моделирование многовариантных задач с использованием графов

А

1 4 2

3

В

Рассмотрим "классический" пример многовариантной задачи. Пусть пункты A и B связаны между собой дорогами, могущими проходить также через пункты 1, 2, 3,..., N. В общем случае каждый пункт связан дорогами со всеми остальными. В частном случае некоторые связи (дороги) отсутствуют. Схематически эти пункты и связи можно изобразить в виде графа.

Графом называется совокупность узлов (пункты A, B, 1, 2, . . . , N) и связывающих их ребер (дорог). Маршрутом движения называется последовательность связанных ребрами узлов. В дальнейшем будем рассматривать те маршруты движения, которые всегда начинаются из пункта A и заканчиваются в пункте B. Причем пункты A и B на маршруте повторяться не могут. Например : А-1-4-В.

Ставится задача составить маршруты при заданных ограничениях (фильтрах), либо найти оптимальный по некоторым параметрам маршрут и т. д. Например, известна стоимость проезда по каждой из дорог. Необходимо найти маршрут с наименьшей стоимостью проезда, либо найти все маршруты со стоимостью не превышающей определенную величину и т. д.

Пусть узел A имеет номер "0", а узел B - номер "N+1". Рассмотрим общий случай: каждый пункт связан со всеми остальными. Обозначим M - число промежуточных узлов на маршруте.

При М = 0 маршрут может проходить только из узла "0" в узел "N+ 1".

При М = 1 маршрут проходит через один из узлов: j1= 1, либо j1= 2, .., либо j1= N.

При М = 2 маршрут проходит через два узла, причем первый из них может иметь номер: j1=1, либо j1=2, ... либо j1=N, а второй - номер: j2=1, либо j2=2, ... либо j2=N, т. е. возможно N² маршрутов. Графически все маршруты можно представить в виде:

A M=1 A M=2

1 . . . j1 . . . N

1 2 3 ... j1 ... N 1 2 3 ... j2 . N 1 2 3 ... j2 ... N 1 2 3 ... j2 .. N

B B

Таким образом, число маршрутов равно N^M и время перебора маршрутов при больших значениях N и M очень быстро растет.

При постановке задачи нахождения маршрутов указывается значение M- наименьшее число узлов на маршруте, M1 - наибольшее число узлов на маршруте. Причем 1<=M<=M1. Например, пусть на графе имеется три узла N=3 и необходимо составить маршруты, проходящие через два узла, т. е. M=2, M1=2. Тогда в общем случае имеются маршруты:

A

0-1-1-4; 0-2-1-4; 0-3-1-4; односторонняя связь

0-1-2-4; 0-2-2-4; 0-3-2-4; 1 2 3

0-1-3-4; 0-2-3-4; 0-3-3-4; двусторонняя связь

B

147

Постановка задачи нахождения маршрутов включает определение матрицы коэффициентов aij, характеризующих связи между узлами i и j. Связь узла A задается коэффициентами a₀j, узла В - коэффициентами ai_{N+ 1}. Матрица имеет вид:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1N Если aij = aji = 0, то связь

a₂₁ a₂₂ a₂₃ ... a_2N между узлами i и j отсутствует.

a₃₁ a₃₂ a₃₃ ... a_3N Если aij=0 и aji<>0, то связь

........................... . между узлами i и j односторонняя.

a_N1 a_N2 a_N3 ... a_NN Если aij<>0 и aji<>0, то связь

между узлами i и j двусторонняя.

Если aij = aji при i =1, 2, . . , N; j = 1, 2, . . , N, то матрица симметричная.

Если aij = 0 при j =1, 2, . . , N; i > j, то матрица треугольная.

Значение aij может содержать значение ребра, связывающего узлы i и j (например, стоимость проезда), либо значение, содержащееся в узле i или j, либо любое значение, указывающее на существование связи между узлами i и j.

Введем линейный массив "Y", коэффициенты которого обозначают номера узлов графа через которые проходит маршрут, а индексы показывают номер пункта по порядку следования на маршруте. Операторы по перебору маршрутов имеют вид:

Y[0]:=0; {номер узла "А" графа}

repeat {цикл по числу узлов на маршруте}

for j:= 1 to M do Y[j]:=1; {начальные номера узлов на маршруте}

Y[M+1]:=N+1; {номер узла "B" графа}

repeat {цикл по перебору номеров узлов на маршруте}

for j:=1 to M+1 do if a[y[j-1],y[j]]=0 then goto METKA; {проверка}

{связей}

{****** здесь ставятся операторы фильтра ************}

{****** . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ************}

for j:=0 to M+1 do write('-', Y[j]); writeln; {вывод маршрута}

METKA: Y[1]:=Y[1]+1; {изменение номера узла первого пункта на маршруте}

for j:=1 to M-1 do {определяем номера узлов на маршруте}

if Y[j]>N then begin Y[j]:=1; Y[j+1]:=Y[j+1]+1 end else Break;

until Y[M]=N+1;

M:=M+1

until M>M1;

В начале программы задается возможный маршрут 0-1-1-1-. . . -1-N+1 для заданного значения M>0. Проверяется наличие связей и ставятся фильтры для определения маршрута. Затем увеличивается номер узла первого пункта по порядку следования на маршруте: 0-2-1-1-. . . -1-N+1 и т. д. до 0-N-1-1-. . . -1-N+1. При превышении номера узла значения N, номер узла сбрасывается до единицы, а номер следующего узла увеличивается на единицу: 0-1-2-1-. . . -1-N+1 и снова увеличивается номер узла первого пункта до значения N: 0-N-2-1-. . . -1-N+1 и далее сбрасывается до единицы с увеличением номера следующего узла: 0-1-3-1-. . . -1-N+1. После (N-1)-го сброса и увеличения значения узла первого пункта до N получим маршрут: 0-N-N-1-. . . -1-N+1 и далее: 0-1-1-2-. . . -1-N+1. Таким образом, происходит перебор всех возможных маршрутов до 0-N-N-N-. . . -N-N+1. После этого рассматриваются маршруты для M=M+1 включая M=M1. Отметим, что при необходимости маршрут 0-N+1 для M=0 нужно рассмотреть отдельно.

При решении конкретных задач необходимо определить значение коэффициентов aij матрицы связи и установить необходимые фильтры.

Рассмотрим задачу определения стоимости маршрутов из A в B.

148

1. ) Зададим стоимость проезда из узла i в узел j:

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[i,j]:=Random(X); {X-дано}

for i:=0 to N+1 do a[i,i]:=0; { движение внутри узла запрещено}

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[j,i]:=a[i,j]; {связи }

{двусторонние и равнозначные}

2). Матрицу связей можно вывести на экран для проверки. При выводе маршрута на экран или в файл можно выводить также значение стоимости маршрута.

S:=0; for m:=1 to M1+1 do S:=S+a[y[m-1],y[m]]; {стоимость маршрута}

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Рассмотрим задачу расстановки мин на прямоугольном поле размером Nx*Ny. При этом M=M1=N=Nx*Ny и все узлы должны быть пройдены без повторений. Расстановка начинается из узла с заданным номером NH и может закончиться в узлах на верхней границе.

1) Определим матрицу связей:

for i:=0 to N+1 do for j:=1 to N+1 do a[i,j]:=0;

for i:=1 to N-1 do begin a[i,i+1]:=1; a[i+1,i]:=1 end;{связи по гориз}

for j:=1 to Ny-1 do begin k:=Nx*j; a[k,k+1]:=0; a[k+1,k]:=0 end;

for i:=1 to Nx do for j:=1 to Ny-1 do {связи по вертикали}

begin k:=Nx*(j-1)+i; a[k,k+Nx]:=1; a[k+Nx,k]:=1 end;

a[0,NH]:=2; { NH - узел связи c узлом 0}

for i:=1 to Nx do a[i,N+1]:=3; { 1, . . , Nx - узлы связи c узлом N+1}

2). Установим фильтр, запрещающий возврат в узел на маршруте:

for k:=1 to M do c[y[k]]:=0; for k:=1 to M do

begin c[y[k]]:=c[y[k]]+1; if c[y[k]]=1 then goto METKA end;

Здесь производится суммирование повторяющихся номеров узлов на маршруте. При совпадении номера узла значение счетчика c[y[k]]=1 -маршрут не рассматривается.

Рассмотрим задачузагрузки N - видов коробок в машину. Задается число коробок каждого вида: Ki, их вес Mi и объем Vi, где i=1, 2, . . , N. Ограничения могут быть по общему весу и объему. Число узлов графа равно N. Число узлов на маршруте M=1, М1=K₁+K₂+. . . +K_N. Интервал М-М1 можно уменьшить просчитав наибольшее допустимое по весу и объему число коробок KMi каждого вида загружаемых в машину (KMi<=Ki). Тогда М = min(KMi), а М1 = max(KMi). Поскольку порядок загрузки не имеет значения, то все связи односторонние. 0

1 2 ... k ... N N+1

1. Определим матрицу связей:

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[j,i]:=0; {нижний треугольник}

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[i,j]:=1;{верхний треугольник}

2) Определение числа коробок каждого вида аналогично суммированию повторяющихся номеров узлов на маршруте.

Практическое задание N 2. 27

1) Вывести в файл стоимость маршрутов без повторяющихся узлов при N=4, M=3, M1=4, Х=9. Определить номера маршрутов с наименьшей и наибольшей стоимостью

для разных значений М.

2) Вывести символами псевдографики в текстовом режиме маршруты движения в прямоугольнике 2х4, либо 4х2. Начало движения при NH=8.

3. Вывести общий вес и число коробок каждого из 3-х видов, загружаемых в машину. Задать веса функцией Random(50)+50; Установить фильтр по общему весу G<900. Общее число коробок: M=10, M1=12.

149