Динамика абсолютно твёрдого тела

1, Ур-е поступ-го движения абсол-о ТВ-го тела. Центр масс. Пример вычисления центра массЦентр масс системы материальных точек и его свойства

Важное значение для системы матх точек имеет такое понятие, как центр масс. Сначала расс-м две м.т. с массами m₁ и m₂ и найдём их центр масс. В дан-м случае центр масс - это точка С, кот-я лежит на прямой соед-й материальные точки. Если положение материальных точек описывается радиус-векторами и , то положение центра масс С, будет описваться радиус-вектором который равен .В общем случае системы из n материальных точек, положение центра масс будет описываться радиус-вектором: = ,где M =m+m₂+...+ m_nполная масса системы м.т..Взяв производную, получим скорость центра масс: .Если система материальных точек замкнута, то , и тогда .Таким образом, при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек остается в покое или движется прямолинейно и равном-о.

2. Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси и его кинетическая энергия

Рассм-м ТВ-е тело, кот может вращ-я вокруг неподв-й вертик-й оси. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Лин-я скорость элементарной массы равна , где -расст-е массы от оси вращения.След-о, для кин-й энергии эл-й массы получ выражение Кин-кая энергия вр-сятв тела склад-ся из кинет-их энергий его частей. Сумму,вход-ю в правую часть этого соотнош назовём моментом инерцииIтела относит-о оси вращ-я момент инерции твёрдого тела.Слагаемыеэтойсупредст-т момент ин-ииматер-й т относит оси вращ мом инерции м.т.от-оси врщения.[I]= 1 кг Таким образом, кин-аяэнергия тела вращ-ся вокруг неподвижной оси, равна кин-кая энергия вращ-гося ТВ-о тела.

3.Момент инерции тела и его физический смысл. Пример вычисления момента инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен

,где элементарная масса . Эл-я масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий эл-й объём .След, мом инерции можно пред-ть в виде .Это знач-е момента инерции явл-сяприб-ым . Точное значение Iпол-ся при замене сумм-я на интег-е, т.е. .Эти интегралы берутся по всему объёму тела

1:Вычисление момента инерциитонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.Будем считать стержень однородным, тогда

Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений

.2:Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо :

- момент инерции цилиндра или тонкого кольцаПример 3: Сплошной цилиндр, диск.

- момент инерции цилиндра или диска

Пример 4: Сплошной шар .

- момент инерции шара.

Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей, т.е. осей проходящих через центр масс.

Момент инерции тела относительно нецентральной оси Теорема Штейнера

Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией ,(1)г

де I - момент инерции тела относительно данной нецентральной оси . Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной нецентральной оси . Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых : , (2)где - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем - теорема Штейнера.

Т Ш-ра: Мом инерции I относ-о произ-й оси равен сумме момента ин-и I₀отн-о оси, парал-й данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями : Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.