Скорости и ускорения точек свободного твердого тела.

Определим положение точки B и полюса A в неподвижной системе координат радиус-векторами r_B и r_A. Положение точки B в базовой системе координат, двигающейся поступательно, определим радиус-вектором ρ. На рис. 103 мы видим, что

(2)

Д ифференцируя по времени (2), учитывая формулу Эйлера, имеем

(3)

где V_BA - скорость вращения точки B вокруг полюса A, равная

(4)

где ω - угловая скорость вращения радиус-вектора ρ и твердого тела в базовой, а, следовательно, и в неподвижной системе координат. Дифференцируя по времени выражение V_B = V_A + ω ρ, получаем

(5)

где a_BA - ускорение вращения точки B вокруг полюса A; a^ε_BA - вращательное, а a^ω_BA - осестремительное ускорения вращения точки B вокруг полюса A, которые выражаются так:

(6)

В выражении (6) ε - угловое ускорение твердого тела в базовой, а следовательно, и в неподвижной системе координат.

Так, мы получили векторные выражения скорости и ускорения точки B, которые можно применять для нахождения скоростей и ускорений любых точек свободного твердого тела. Эти выражения, естественно, показывают, что скорости и ускорения точек тела состоят из скоростей и ускорений поступательного движения совместно с полюсом и скоростей и ускорений вращения точек тела в сферическом движении вокруг полюса.

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ - движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения с нек-рой скоростью и вращательного движения с нек-рой угловой скоростью вокруг оси аa₁, параллельной направлению постулат. скорости (рис. 1). Тело, совершающее стационарное В. д., т. е. В. д., при к-ром направление оси aa₁ остаётся неизменным, наз. винтом; ось аа₁ наз. осью винта; расстояние, проходимое любой точкой тела, лежащей на оси аa₁, за время одного оборота, наз. шагом h винта, величина - параметром винта. Если вектор направлен в сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, то при векторах , направленных в одну сторону, винт наз. правым, а в разные стороны,- левым.

Скорость и ускорение любой точки M тела, отстоящей от оси аa₁ на расстоянии r, численно равны

где

Когда параметр р постоянен, шаг винта также постоянен. В этом случае всякая точка M тела, не лежащая на оси aa₁, описывает винтовую линию, касательная к к-рой в любой точке образует с плоскостью yz, перпендикулярной оси aa₁, угол Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. Ось мгновенного В. д. наз. мгновенной винтовой осью. В отличие от оси стационарного В. д., мгновенная винтовая ось непрерывно изменяет своё положение как по отношению к системе отсчёта, в к-рой рассматривается движение тела, так и по отношению к самому телу, образуя при этом 2 линейчатые (соприкасающиеся но прямой линии) поверхности, наз. соответственно неподвижным и подвижным аксоидами (рис. 2). Геом. картину движения тела можно в общем случае получить качением с продольным проскальзыванием подвижного аксоида по неподвижному, осуществляя таким путём серию тех последоват. В. д., из к-рых слагается движение тела.

№13.Полная и локальная производная вектора. Теорема о сложении скоростей точки.

Теорема о сложении скоростей.

При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной скоростей.

.

Доказательство. В каждый момент времени справедливo равенство: .

По формуле Эйлера , ,

В это выражение входит переносная скорость

Окончательно имеем

Применяя полученную формулу отдельно для вектора , запишем Эта формула выражает абсолютную производную любого вектора с помощью относительной производной и движение подвижной системы координат с угловой скоростью (Формула Бура) .

.

Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.

Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат — подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.

Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t назьшается вектор определяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.

Относительная, или локальная, производная определяет измененине вектора b(t) в подвижной системе O'XYZ.

Формула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными): .

Рассомтрим частные случаи.

1) угловая скорость = 0, то = ;

2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета ( =0), то ;

3) , т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости ( ), то = . В частности, если , то , т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.

Дополнение:

Выведение формулы Бура:

Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной системы O'XYZ, то можно записать: , где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная , а полная производная с учетом изменения также ортов I, J , К имеет вид: . В правой части уравнения первые три слагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона ( ), т.е. . С учетом получаем: .

14. Теория сложения ускорений точки

2

3

16. 2

3