- •Движение свободного твердого тела.
- •Задание движения свободного твердого тела.
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела.
- •17. Основные аксиомы статики. Сложение сходящихся сил.
- •2)Центр параллельных сил
- •2)Определение координат тяжести однородного тела
- •Теоретическая механика кинематика
- •1.2. Первая задача динамики свободной точки
- •1.3. Вторая задача динамики свободной точки
- •2) Импульс силы
Скорости и ускорения точек свободного твердого тела.
Определим положение точки B и полюса A в неподвижной системе координат радиус-векторами rB и rA. Положение точки B в базовой системе координат, двигающейся поступательно, определим радиус-вектором ρ. На рис. 103 мы видим, что
|
(2) |
Д ифференцируя по времени (2), учитывая формулу Эйлера, имеем
|
(3) |
где VBA - скорость вращения точки B вокруг полюса A, равная
|
(4) |
где ω - угловая скорость вращения радиус-вектора ρ и твердого тела в базовой, а, следовательно, и в неподвижной системе координат. Дифференцируя по времени выражение VB = VA + ω ρ, получаем
|
(5) |
где aBA - ускорение вращения точки B вокруг полюса A; aεBA - вращательное, а aωBA - осестремительное ускорения вращения точки B вокруг полюса A, которые выражаются так:
|
(6) |
В выражении (6) ε - угловое ускорение твердого тела в базовой, а следовательно, и в неподвижной системе координат.
Так, мы получили векторные выражения скорости и ускорения точки B, которые можно применять для нахождения скоростей и ускорений любых точек свободного твердого тела. Эти выражения, естественно, показывают, что скорости и ускорения точек тела состоят из скоростей и ускорений поступательного движения совместно с полюсом и скоростей и ускорений вращения точек тела в сферическом движении вокруг полюса.
ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ - движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения с нек-рой скоростью и вращательного движения с нек-рой угловой скоростью вокруг оси аa1, параллельной направлению постулат. скорости (рис. 1). Тело, совершающее стационарное В. д., т. е. В. д., при к-ром направление оси aa1 остаётся неизменным, наз. винтом; ось аа1 наз. осью винта; расстояние, проходимое любой точкой тела, лежащей на оси аa1, за время одного оборота, наз. шагом h винта, величина - параметром винта. Если вектор направлен в сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, то при векторах , направленных в одну сторону, винт наз. правым, а в разные стороны,- левым.
Скорость и ускорение любой точки M тела, отстоящей от оси аa1 на расстоянии r, численно равны
где
Когда параметр р постоянен, шаг винта также постоянен. В этом случае всякая точка M тела, не лежащая на оси aa1, описывает винтовую линию, касательная к к-рой в любой точке образует с плоскостью yz, перпендикулярной оси aa1, угол Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. Ось мгновенного В. д. наз. мгновенной винтовой осью. В отличие от оси стационарного В. д., мгновенная винтовая ось непрерывно изменяет своё положение как по отношению к системе отсчёта, в к-рой рассматривается движение тела, так и по отношению к самому телу, образуя при этом 2 линейчатые (соприкасающиеся но прямой линии) поверхности, наз. соответственно неподвижным и подвижным аксоидами (рис. 2). Геом. картину движения тела можно в общем случае получить качением с продольным проскальзыванием подвижного аксоида по неподвижному, осуществляя таким путём серию тех последоват. В. д., из к-рых слагается движение тела.
№13.Полная и локальная производная вектора. Теорема о сложении скоростей точки.
Теорема о сложении скоростей.
При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной скоростей.
.
Доказательство. В каждый момент времени справедливo равенство: .
По формуле Эйлера , ,
В это выражение входит переносная скорость
Окончательно имеем
Применяя полученную формулу отдельно для вектора , запишем Эта формула выражает абсолютную производную любого вектора с помощью относительной производной и движение подвижной системы координат с угловой скоростью (Формула Бура) .
.
Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.
Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат — подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.
Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t назьшается вектор определяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.
Относительная, или локальная, производная определяет измененине вектора b(t) в подвижной системе O'XYZ.
Формула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными): .
Рассомтрим частные случаи.
1) угловая скорость = 0, то = ;
2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета ( =0), то ;
3) , т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости ( ), то = . В частности, если , то , т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.
Дополнение:
Выведение формулы Бура:
Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной системы O'XYZ, то можно записать: , где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная , а полная производная с учетом изменения также ортов I, J , К имеет вид: . В правой части уравнения первые три слагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона ( ), т.е. . С учетом получаем: .
14. Теория сложения ускорений точки
2
3
16. 2
3