- •Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
- •Момент инерции. Теорема Штейнера.
- •Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
- •Энергия упругой волны.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
(147.3)
Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде
Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению
(147.4)
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
(147.5)
применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс
Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты . Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.
Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту рез, — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв его нулю, получим условие, определяющее рез :
Это равенство выполняется при =0, ± , у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота (148.1)
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При значение рез практически совпадает с собственной частотой 0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим
(148.2) Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если 0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний , в случае электромагнитных – Um/(L ). Если , то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми. Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании ( ) резонансная амплитуда смещения (заряда) где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.
На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока) максимальна при рез=0 и равна , т. е. чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна
а амплитуда тока при электрическом резонансе
Из выражения tg = (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях 0.
Зависимость от при разных коэффициентах графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении изменяется и сдвиг фаз . Из формулы (147.9) вытекает, что при =0 =0, а при =0 независимо от значения коэффициента затухания = /2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на /2. При дальнейшем увеличении сдвиг фаз возрастает и при >>0 , т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.
Волна́ — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве. Продольные волны (волны сжатия, P-волны) — частицы среды колеблются параллельно (по) направлению распространения волны (как, например, в случае распространения звука).
Поперечные волны (волны сдвига, S-волны) — частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред)
ФРОНТ ВОЛНЫ - поверхность, окружающая источник колебаний, все точки которой имеют одинаковые фазы колебаний. Фронт волны может быть сферой (сферическая волна) или иметь более сложную форму. Направление распространения волны - нормаль к фронту волны.
Длина́ волны́ — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой . По аналогии с возникающими волнами в воде от брошенного в неё камня — расстояние между двумя соседними гребнями волны. Одна из основных характеристик колебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.). Величина , обратная длине волны, называется волновым числом и имеет смысл пространственной частоты.
Волновая поверхность — геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то волновые поверхности в однородном и изотропном пространстве представляют собой концентрические сферы.
плоская волна — плоскости равных фаз перпендикулярны направлению распространения волны и параллельны друг другу;
сферическая волна — поверхностью равных фаз является сфера;
цилиндрическая волна — поверхность фаз напоминает цилиндр.
Базовым представителем волн являются линейные распространяющиеся волны, возникающие в системах, динамика которых может быть описана линейными гиперболическими уравнениями второго порядка (волновыми уравнениями) относительно характеристик системы .
где матрицы положительно определены для всех .
Гармоническая волна Гармонической волной называется линейная монохроматическая волна, распространяющаяся в бесконечной динамической системе. В распределённых системах общий вид волны описывается выражением, являющимся аналитическим решением линейного волнового уравнения
где – некоторая постоянная амплитуда волнового процесса, определяемая параметрами системы, частотой колебаний и амплитудой возмущающей силы; – круговая частота волнового процесса, – период гармонической волны, – частота; – волновое число, – длина волны, – скорость распространения волны; – начальная фаза волнового процесса, определяемая в гармонической волне закономерностью воздействия внешнего возмущения.
Если искать решение для гармонической волны путём предельного перехода от соответствующих решений для динамических систем с сосредоточенными параметрами, то указанное выражение существенно уточнится, выявив связь, заложенную в амплитуду . Это решение для амплитуды имеет вид ,где – амплитуда воздействующей силы , – плотность распределённой упругой системы, – в данном случае, жёсткость линии с распределёнными параметрами.
Волново́е число́ (также называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны: пространственный аналог круговой частоты.
Волновой вектор — вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу.
Уравнением волны называется функция координат и времени, определяющая смещение точек среды из положения равновесия в любой момент времени во всём пространстве.
Уравнение плоской волны , – волновое число.
Волновое уравнение
Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Исходя из физических свойств среды и основных законов механики мы получаем волновое уравнение из явного выражения для уравнения плоской волны.
. Можно записать : – волновое уравнение. Волновому уравнению будет удовлетворять любая волна произвольной частоты , распространяющаяся со скоростью . определяется физическими свойствами среды. В случае плоской волны, распространяющейся в направлении по х, волновое уравнение записывается в виде: .
Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве.[1] Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.
СФЕРИЧЕСКАЯ ВОЛНА - волна, радиально расходящаяся от нек-рой точки (источника) или сходящаяся к ней (к стоку) и имеющая сферич. волновые фронты (поверхности равных фаз). Простейшим примером является сферически симметричная скалярная волна вида
расходящаяся от центр. точки r = 0 (знак " -") или сходящаяся к ней (знак "+") со скоростью с. Такая волна удовлетворяет волновому уравнению и описывает многие физ. процессы в линейных средах без дисперсии и без потерь. Суперпозиция сходящейся и расходящейся волн (в частности, стоячая С. в.) также является решением волнового ур-ния.
Уравнение стоячей волны Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Стоячая волна это возникающий в результате колебательный процесс. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну. Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны:
Преобразовав это уравнение, получим упрощенное уравнение стоячей волны:
Стоячая волна не переносит энергию, так как падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.
При наложении когерентных волн наблюдается их интерференция, т.е. усиление в одних точках пространства и ослабление в других. Важным случаем интерференции является наложение 2-ух встречных волн (одна из них может быть отражённой волной). В этом случае возникают стоячие волны. Запишем уравнения 2-ух плоских волн, распространяющихся вдоль ОХ в противоположном направлении, и сложим их: . Таким образом, в каждой точке пространства совершаются гармонические колебания частоты . Амплитуда этих колебаний меняется от 0 до по закону . Точки, в которых амплитуда достигает максимальной величины, называются пучностями стоячей волны, их координаты: . Точки, где амплитуда обращается в 0, называются узлами стоячей волны, их координаты: . Расстояние между соседними пучностями (узлами) равно половине длины волны.
Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.
Упругая деформация — деформация, исчезающая после прекращения действий внешних сил. При этом тело принимает первоначальные размеры и форму.