15. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

15. ТЗ. Построение исходного базисного плана.

Построение исходного допустимого плана в транспортной задаче. По аналогии с другими задачами линейного программирования решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т. д. пунктах производства, по первому, второму и т. д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного, удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются а_i^(q), а текущих неудовлетворенных потребностей — b_j^(q). Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем а_i⁽⁰⁾= а_i, b_j⁽⁰⁾ = b_j. Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j, рассматриваются значения нераспределенного запаса в i-ом пункте производства и неудовлетворенной потребностиj-ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: x_i,j = min{а_i^(q), b_j^(q)}. После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: а_i^(q+1) = 0 или b_j^(q+1) = 0 . Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i +1, т. е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b_j^(q+1) = 0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей (3.5), нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же условия число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми)mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (а_i^(q) = b_j^(q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

15. Тз. Метод потенциалов.

Транспортная задача: Метод потенциалов

Метод потенциалов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Общая схема отдельной итерации такова.

По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

 

Рассмотрим подробнее процесс определения потенциалов текущего плана транспортной задачи. Потенциал первого пункта потребления принимаем равным нулю

Теперь, зная его, мы можем определить потенциалы для всех пунктов производства, связанных с первым пунктом ненулевыми перевозками.

Для свободных клеток транспортной таблицы вычисляются величины

называемые разностями потенциалов. В таблице они выписаны для всех небазисных клеток под ценами.

Разность потенциалов можно трактовать как увеличение цены продукта при его перевозке из пункта i в пункт j.

Процесс «улучшения» плана состоит в определении вводимой и выводимой клеток, в чем прослеживается содержательная аналогия с соответствующими пунктами симплекс-процедур.

Выводимая клетка определяется с помощью так называемой цепочки преобразования плана, описывающей характер перераспределения грузовых потоков. В соответствии со свойствами транспортной задачи для невырожденного базисного плана в текущей таблице можно образовать замкнутую цепочку, состоящую только их вертикальных и горизонтальных звеньев, одной из вершин которой является выбранная свободная клетка, а остальные — занятые клетки.

В построенной цепочке, начиная с вводимой клетки (которая считается первой), помечаются вершины: нечетные — знаком «+», а четные знаком «—». Знаком «+» отмечаются те клетки, в которых объемы перевозок должны увеличиться (таковой, в частности, является клетка, вводимая в план, поскольку она должна стать базисной). Знаком «—» — те клетки, в которых перевозки уменьшаются с целью сохранения баланса. Среди множества клеток, помеченных знаком «—», выбирается клетка с наименьшим значением.

Она и становится кандидатом на вывод, т. к. уменьшение объема перевозок на большую величину может привести к отрицательным значениям x_i,j в других «минусовых» клетках. Затем производится пересчет плана по цепочке: к объемам перевозок в клетках, помеченных знаком «+», добавляется объем q, а из объемов клеток, помеченных знаком «—», он вычитается. В результате ввода одной клетки и вывода другой получается новый базисный план, для которого на следующей итерации описанные выше действия повторяются.

Завершая разговор о методе потенциалов, следует отдельно остановиться на ситуации возникновения вырожденного плана. Возможность получения вырожденного плана уже отмечалась при описании метода северо-западного угла. Нетрудно заметить, что вырожденный план также может получиться на этапе преобразования текущего плана по цепочке: если одинаковое минимальное значение будет достигнуто сразу на нескольких клетках, помеченных знаком «—», то при вычитании перемещаемого по цепочке объема в новом плане будет меньше чем m + n-1 ненулевых компонент.

Способ преодоления вырожденности в транспортной задаче весьма прост, а именно: предлагается дополнить текущий план необходимым количеством нулевых клеток (фиктивными перевозками) таким образом, чтобы они позволяли рассчитать полную систему потенциалов, и далее действовать в соответствии с правилами описанного выше алгоритма.

15. Модели управления запасами. Основные понятия.

16. Статическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

17. Статическая детерминированная модель управления запасами с дефицитом

Запас — все то, на что имеется спрос и что временно исключено из потреб­ления. Запасы подразделяются на:

1. запасы средств производства, предназначенные для производ­ственного потребления (сбытовые, производственные, государственные резервы и незавершенное производство),

2. запасы предметов потребления, предназначенные для использования в непроизвод­ственной социально-экономической сфере и удовлетворения потребностей людей (товарные, запасы предметов коллективного и индивидуального потребления и государственные резервы).

Основные причины создания запасов:

• необходимость обеспечения бесперебойного снабжения производственного процесса,

• периодичность производства различных видов продукции поставщиками,

• транспортировка большинства видов продукции партиями от поставщика к потре­бителю,

• несовпадение ритма производства с ритмом потребления.

Причины, побуждающие предприятия к уменьшению запасов:

• плата за физическое хранение запасов,

• отвлечение денежных средств, вложенных в них потери от естественной убыли,

• моральный износ.

Предмет теории управления запасами — это отыскание такой организации поставок или производства, при которой суммарные затраты на функционирование системы минимальны. Ор­ганизация поставок — определение объемов поставок и периодичность заказов.

Существует 4 основных вида затрат, которые могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами:

1. затраты на приобретение запасов — не зависят от принимаемых решений, не учитываются при анализе. Их целесообразно учитывать только, если цена единицы продукции зависит от величины партии, что в основном выражается в виде количественных скидок.

2. затраты на организацию заказа — постоянные расходы по размещению заказов: расходы на командировки, почтово-телеграфные расходы, транспортные расходы, не зависящие от размера партии. Если склад­скую систему снабжает предприятие-поставщик, то при условии серийного выпуска продукции стоимость переналадки оборудования перед выпуском очередной партии также относится к таким затратам. Иногда в данную категорию включают издержки вследствие более низкой производитель­ности труда и более высокого процента брака в начале производственного периода.

3. издержки хранения запасов — издержки, зависящие от величины запасов, например издержки физического присутствия материаль­ных ценностей на складе (естественная убыль, плата за производственные фонды) и потери от иммо­билизации средств в запасах. Потери из-за отвлечения средств в запасы могут быть рассчитаны в ви­де определенного процента от суммы средств, вложенных в запасы. Процент может исчисляться в соответствии с нормой прибыли на предприятии или процентной ставкой по кредиту.

4. потери от дефицита — суммарные потери прибыли в расчете на 1 ден.ед. стоимости дефицитных материалов. Прибыль пред­приятия при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей, рабочих, пе­реналадки производственного процесса, замены дефицитных материалов другими, более дорогими, выпуска продукции в сверхурочное время после ликвидации причины простоя, штрафа за нарушение сроков поставки.

Многообразие реальных ситуаций вызвало необходимость разработки различных моделей управления запасами. Важнейшей характеристикой моделей управления запасами является спрос. Спрос может быть:

1. де­терминированным

   1. статический (посто­янный во времени)

   2. динамический (изменяющийся во времени);

2. случайным

   1. стационарный (с постоянной во времени плотностью вероятности)

   2. нестационарный.

2.Статические детерминированные модели без дефицита

2.1 Бездефицитная простейшая одноменклатурная модель (Базовая модель определения величины партии)

Данная модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях:

1. Интенсивность спроса (Demand rate) v в единицу времени является постоянной;

2. Заказанная партия доставляется одновременно;

3. Дефицит недопустим;

4. Организационные издержки на поставку (Setup cost) К постоянны и не зависят от величины партии q;

5. Удельные затраты на хранение единицы продукции (Holding cost) за единицу времени составляют s.

Рис. 1. Динамика изменения уровня запаса I для бездефицитной простейшей однономенклатурной модели

Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величины q. Заказ выполняется мгновенно, и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени между поставками τ — цикл.

Общие затраты в единицу времени:

Оптимальный размер партии заказа: — формула размера партии (экономичная величина заказа, формула квадратного корня, формула Уилсона и т.д.).

Оптимальный интервал между поставками:

Минимальные затраты по формированию поставок и содержанию запасов в единицу времени:

r = θ *v;

r — точка возобновления заказа.

θ— срок выполнения заказа

Задача 1. Фирма поставляет запасные части для промышленного оборудования и осуществляет гарантийное обслуживание оборудования. Фирма столкнулась с трудностями поддержания запасов на необходимом уровне. Ранее в момент обращения покупателя в наличии иногда не оказывалось необходимого количества запчастей. Ограниченность складских площадей не позволяет необоснованно увеличивать запасы. Фирма имеет устойчивый спрос на 600 электродвигателей в год. Стоимость одного двигателя 200 ден.ед., затраты на хранение и поддержание в хорошем состоянии — 12% стоимости запасов. Затраты на размещение заказа, не зависящие от величины партии — 450 ден.ед.

Определить размер партии, при котором затраты на организацию поставок и хранение будут наимень­шими. Сравнить с действующей системой заказа партии 300 двигателей.

Решение.

Оптимальная партия = 150 двигателей.

Интервал между заказами: =80 дней.

Минимальные затраты: =3600 ден.ед.

При действующей системе q_действ = 300 (двигателей) величина затрат будет равна

Переход к оптимальному режиму работы приведет к снижению затрат на 900 ден. ед. (4500 - 3600).