Свойства математических ожиданий

Математическое ожидание постоянной величены равно этой постоянной; т.е. если С-постоянная величина, то

.

Постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, т.е. если k постоянный множитель, то

.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

.

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

.

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

.

6. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С, то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

.

б) дисперсией D(X) случайной величины Х называется математического ожидания α(M(X)= α:

.

в) средним квадратическим отношением G(X) (G) случайной вершины называется арифметическим значением корня квадратного из дисперсии, т.е.

.

 

Свойства дисперсий

1. Дисперсия постоянной величены равна, т.е. если С постоянная величена, то

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но возводя его при этом в квадрат, т.е. если k – постоянный множитель, то

.

3. Если все значения случайной величены увеличить или уменьшить на одно и то же число С, то дисперсия не изменится

.

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

.

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

.

6. Дисперсия случайной величены равна ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания,т.е.

.

11. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства.

 Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁ p₁+ x₂ p₂+...+ x_n p_n.      Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈`X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:      1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.      2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).      3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).      4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XЧYЧZ) = M(X)ЧM(Y)ЧM(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

11. Вероятный смысл математического ожидания.

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.