X(k) - запись числа в системе счисления с основанием k;

xi –целые числа меньше k;

n – число разрядов (позиций) в целой части;

m - число разрядов (позиций) в дробной части

X(k)= xn-1x n-2...x 1x 0,x -1..x –m

Десятичная система счисления

Основание 10

Базис 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Пример: 1324710 = 1*104 + 3*103 + 2*102 + 4*101 + 7*100

Двоичная система счисления

Основание 2

Базис 0 1

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X(2)= xn-12n-1+ x n-22 n-2+ ...+ x 12 1+x 02 0+x -12 -1+...+x –m2 –m

11101000₂=1*2⁷ + 1 *2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 232₁₀

Восьмеричная система счисления

Основание 8

Базис 0 1 2 3 4 5 6 7

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X(8)= xn-18n-1+ x n-28n-2+ ...+ x 18 1+x 02 0+x -18-1+...+x –m8-m

75013₈ = 7*8⁴ + 5*8³ + 0*8² + 1*8¹ + 3*8⁰ = 31243₁₀

Шестнадцатеричная система счисления

Основание 16

Базис 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X(16)= xn-116n-1+ x n-216n-2+ ...+ x 116 1+x 016 0+x -116-1+...+x –m16-m

FDA116 = 15*16³ + 13 *16² + 10*16¹ + 1*16⁰ = 64929₁₀

• Для перевода десятичного числа >1 в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1

• Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

• Для перевода десятичного числа >1 в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15.

• Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

• Для перевода десятичного числа <1 в p-ичное необходимо умножить его на основание искомой системы, а затем дробную часть полученного произведения опять домножить на основание искомой системы

• Операцию повторять до достижения нужной точности числа ( нужного числа разрядов)

• Число в p-ичной системе записывается как последовательность последнего целой части чисел, получаемых умножением дробных частей на основание p в прямом порядке.

• Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

• Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

• Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

• Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой

• При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему