7.2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа.

Метод наименьших квадратов.

Отыскиваются такие значения α и β, при которых сумма квадратов ошибок ε принимают минимальное значение.

Если первое нормальное уравнение раздлить на n, получим:

или

5.1. Волатильность и дюрация облигаций.

Дюрация может быть рассмотрена также как эластичность цены облигации Р₀ по изменению процентной ставки (а точнее величины 1+i). В общем рассмотрении коэффициент эластичности – это отношение относительного прироста одного показателя к относительному приросту другого показателя. В данном случае этими показателями являются цена облигации и процентная ставка (1+i).

Цена облигации может быть рассчитана по формуле:

О пределим первую производную цены по изменению процентной ставки:

О тносительное изменение цены определяется как dP/P, а относительное изменение процентной ставки di/(1+i). Коэффициент эластичности определяется выражением:

В результате получим формулу эластичности изменения цены облигации в зависимости от изменения величины (1+i).

Учитывая, что дюрация может быть рассмотрена как эластичность изменения цены облигации от изменения величины (1+i), можно связать динамику курса и процентной ставки (i).

З адача.

Начальная цена облигации – 100 млн. руб., доходность – 12%. Дюрация составляет 5 лет. Доходность увеличивается до 13%. Как изменится цена?

Решение:

di/(1+i) = 0,01/1,12 = 0,0089286

dP/P = -5*0,0089286 = - 0,0446 или – 4,46%

Цена облигации снизится до 95 535 700 руб.

Для расчетов можно использовать модифицированную дюрацию:

6.1. Инвестиционные возможности с использованием опционов.

Опцион на покупку (колл).

Предположим, что цена исполнения опциона – 140 $ за акцию. Опционная премия составляет 6 $ за акцию. Срок опциона 3 мес.

Вариант 1. Допустим, что курс акции вырос и составляет 150 $. В этом случае покупатель опциона исполняет опцион. Прибыль от данной операции составила 10 $ (150-140). Чистая прибыль – 4 $ (10-6).

Вариант 2. Рыночный курс – 146 $. Прибыль от данной операции – 6 $ (146-140). Чистая прибыль – 0 $ (6-6). Таким образом 146 $ пороговая цена, при которой инвестор не получит ни прибыли ни убытка.

Цена при которой инвестор не покупает данную акцию – 140 $ и ниже. В этом случае инвестор имеет чистый убыток – 6 $ (уплаченная премия).

Вариант 3. Если инвестор покупает акции за 141 $, он снижает свой убыток на 1$: 141-146=-5 $; если покупка осуществляется по цене 142 $, то убыток сокращается еще на 1 $ и т.д.

Схема формирования прибыли покупателя опциона на покупку.

Если: Х – цена исполнения опциона;

S_T – текущая цена финансового актива на рынке

С – премия

То для покупателя опциона прибыль:

при S_TX равна S_T-X-C

при S_TX равна – С.

Схема формирования прибыли продавца опциона по покупку.

Максимальная премия продавца в нашем примере – 6 $ (это премия).

При S_T = 140 продавец имеет максимальную прибыль (в этом случае опцион не исполняется).

Если 140  S_T  146, то прибыль продавца будет менее 6 $ (инвестор делит свой убыток с продавцом).

Если S_T = 146, прибыль будет равна 0.

Если S_T  146, продавец будет нести потери.

Для продавца опциона прибыль:

при S_T  X равна С

при S_T  X равна – (S_T – X) + C

Опцион на продажу (пут).

Покупатель опциона имеет право продать оговоренный в контракте актив продавцу опциона.

Инвестор рассчитывает, что рыночная цена актива будет ниже цены исполнения.

Задача.

Инвестор приобретает опцион на продажу с ценой исполнения (Х) 60$ за акцию, премия – 4$, срок контракта 4 года.

Инвестор предполагает, что к моменту исполнения опциона цена будет ниже 60$. Предположим, что текущая цена составляет 56$. В этом случае инвестор покупает на рынке акцию за 56$ и продает ее продавцу опциона за 60$. Чистая прибыль: 60 – 65 – 4 = 0$.

Если рыночная цена акции составила бы 50$, то инвестор продавая ее по цене 60$ получит прибыль в размере 6$: 60 – 50 – 4 = 6$.

Если цена акции 60$ и выше, то данный опцион не исполняется и постоянный убыток инвестора составит 4$.

Позиция покупателя:

Прибыль:

при S_T  X равна Х - S_T – С

при S_T  X равна – С

Позиция продавца: