2. Задача кратной сплайн-интерполяции

Рассмотрим задачу кратной интерполяции при помощи полиномиальных сплайнов класса (r,m) с фиксированными узлами

.

Пусть S(x) S(r,m) – полиномиальный сплайн степени r с m узлами

.

Пусть x₁, x₂, …, x_p - узлы интерполяции, имеющие соответственно кратности σ₁, σ₂, …, σ_p

Рассмотрим задачу кратной сплайн-интерполяции в следующей постановке:

, . (3.1)

Пусть n=r+1+m, , и , если .

Отметим некоторые свойства задачи (3.1) [4].

Обозначим через V(t_i,t_j) – количество узлов интерполяции с учетом их кратности, попадающие в замыкание отрезка (t_i,t_j), где t₀=- , t_m+1=+ .

Теорема. Для того, чтобы задача (3.1) при любых имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы

при всех 0 ≤ i < j ≤ m+1.

Обозначим через - класс функций f, имеющий на [c,d] абсолютно непрерывную r-ю производную и почти всюду (r+1) производную, такую, что

.

Оценку погрешности для задачи (1) на всем классе функций дает следующее утверждение

Теорема. Существует единственная функция вида

удовлетворяющая условиям

.

Тогда для любой _{справедлива оценка}

3. Использование сплайнов в графических средах

Как показала практика, сплайны оказались очень удобным инструментом при построении различных графических изображений.

Сплайн является важным объектом векторной графики, с его помощью можно описывать ту или иную геометрическую фигуру. Например, с использованием сплайнов построены современные шрифты TrueType и PostScript.

У векторной графики много достоинств. Она экономна в плане дискового пространства, необходимого для хранения изображений: это связано с тем, что сохраняется не само изображение, а только некоторые основные данные, используя которые, программа всякий раз воссоздает изображение заново. Кроме того, описание цветовых характеристик почти не увеличивает размер файла.

Объекты векторной графики легко трансформируются и модифицируются, что не оказывает практически никакого влияния на качество изображения. Масштабирование, поворот, искривление могут быть сведены к нескольким элементарным преобразованиям над векторами. В тех областях графики, где важное значение имеет сохранение ясных и четких контуров (например, в шрифтовых композициях, в создании логотипов и прочее), векторные программы незаменимы.

Для работы со сплайнами в векторной графике используется множество программных пакетов (ArchiCAD, 3ds max, Maya).

В дипломной работе изучается как используются сплайны в графических средах и математических процессорах 3ds Max и Maple.

1. Графика в Maple

Maple - одна из самых мощных математических систем компьютерной алгебры. Эта система была создана группой ученых, занимающихся символьными вычислениями (The Symbolic Group), организованной Кейтом Геддом (Keith Geddes) и Гастоном Гонэ (Gaston Gonnet) в 1980 году в университете Waterloo, Канада. Maple широко применяется в вычислениях в физических и математических дисциплинах, в вычислительной технике, в бизнесе, в общественных науках и в других областях. Используется как для небольших задач, так и для серьезных проектов.

В Maple реализуются все варианты математических графиков:

- простых функций в декартовой и в полярной системах координат,

- создание реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской.

- наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений.

В ядро Maple встроено ограниченное число функций графики:

- функция для построения двумерных графиков (2D-типа) - plot( ),

- функция для построения трехмерных графиков (3D-типа) - plot3d( ). Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа (например, в виде векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т.д.) в пакеты расширения системы Maple включено большое число различных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания.

Для построения двумерных графиков служит функция plot( ). Ее синтаксис: 

>plot(f, h, v)

или

>plot(f, h, v, o)

где

f - функция (или функции), чей (чьи) график(и) строятся,

h - переменная с указанием области ее изменения по горизонтали,

v - (не обязательный параметр) - заданная опционально переменная с указанием области ее изменения по вертикали,

o – (не обязательный параметр) - опция или набор опций, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.).

Например,

1. >plot(f, xmin..xmax)

- построение графика функции f, заданной только именем;

2. >plot(f(x), x=xmin..xmax)

- построение графика функции f(x).

Диапазон изменений независимой переменной x задается как xmin..xmax, где xmin и xmax - минимальное и максимальное значение x, .. (две точки) - составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Здесь x  - независимая переменная может иметь любое допустимое имя.

Для построения графиков трехмерных поверхностей в Maple имеется встроенная в ядро функция plot3d.

Например,  

1. >plot3d(expr1, x=a..b, y=c..d, p),

2. >plot3d(f, a..b, c..d, p),

где

f - функция

expr1 - выражение, отражающее зависимость от х и у,

а и b — числовые константы действительного типа,

c и d — числовые константы или выражения действительного типа

р — параметры-опции.

Вывод графики в Maple можно осуществлять непосредственно в рабочий лист (режим по умолчанию) или в отдельное окно. Задание соответствующих режимов осуществляется командами 

Options ->Plot Display -> Inline и Options ->Plot Display -> Window.

Вывод графики в отдельном окне полезен для отображения промежуточных результатов расчетов.

Команда smartplot() использует функции значения параметров по умолчанию при построении графика. Но их можно изменить, теперь уже с помощью контекстного меню полученного графика. Отметим, что после выполнения команды содержимое строки главного меню и контекстной панели инструментов изменится.

На график, построенный с помощью функции smartplot() можно добавить графики других функций простым перетаскиванием с помощью мыши.