МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информационных технологий

Использование сплайнов в 3 ds Max

Дипломная работа

Студентки 5 курса

Специальности «математика»

Пивницкой А.А._______________

Научный руководитель –

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры информационных технологий

Паляева В.Н.__________________

«Допущен к защите»

Зав кафедрой информационных технологий

Старший преподаватель, кандидат педагогических наук

Горяев В.М.___________________

Элиста 2012

Содержание.

Использование сплайнов в 3 ds Max 1

1. Введение 3

2. Сплайны, простейшие свойства. 4

3. Использование сплайнов в графических средах 9

3.1 Графика в Maple 10

3.2 Примеры построения графиков сплайнов в Maple 14

3.3 Графика в Autodesk 3ds Max 17

4. Сплайны в 3ds Max 19

4.1 Основы моделирования. Создание моделей с помощью сплайнов 19

4.2 Создание трехмерных объектов методом лофтинга 29

5. Практическая работа. Создание модели корпуса автомобиля при помощи сплайнов в 3Ds Max 36

Литература и источники 55

1. Введение

В дипломной работе рассматривается один из мощных инструментов, используемых в векторной графике – сплайны. Сплайны первоначально использовались для решения прикладных математических задач, в том числе интерполяции, нахождении наилучшей квадратурной формулы и т.д. в настоящее время теория сплайнов получила большое использование в моделировании и компьютерной графике.

Векторная графика получила большую популярность и широкое распространение. В мире множество программ для моделирования в различных сферах, наиболее известные - Maya, ArchiCad, 3 D’S MAX. В каждой из них используются сплайны.

Сплайн - основное понятие всей векторной графики. Суть сплайна: любую элементарную кривую можно построить по четырем точкам на плоскости. Перемещая эти точки, меняем кривую.

В данной работе рассмотрено использование сплайнов в моделировании, а именно в программе 3ds Max. Итогом является практическая работа: создание модели корпуса автомобиля BMW X5, при построении которого в качестве основного инструмента использовались простые виды сплайна.

Во втором пункте работы приведено определение сплайна и простейшие свойства. В третьем - представлено использование сплайнов в Maple и в 3ds Max. Приведены примеры.

В четвертом пункте подробно рассматривается использование сплайнов в 3ds Max, а также модификаторы для данного инструмента, необходимые для 3х-мерного моделирования. В пятом - приведена практическая часть, в которой рассматриваются этапы создания модели автомобиля BMW X5.

2. Сплайны, простейшие свойства.

В этом пункте вводится понятие полиномиального сплайна, приведены его простейшие свойства, рассмотрена задача кратной сплайн-интерполяции и условия ее однозначной разрешимости, а также оценка погрешности.

«Сплайн» (англ. spline) в переводе означает лекало (гибкую линейку) для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную в R¹ и имеющую некоторое число непрерывных производных.

Основная область применения сплайнов – задачи интерполяции. Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является их сходимость и устойчивость процесса вычислений и возможность иметь нуль-интервалы.

1. Определение сплайна и его простейшие свойства.

Пусть r, m- натуральные числа.

Определение. Полиномиальным сплайном степени r с m узлами называется кусочно-полиномиальная функция, которая на каждом из своих частичных промежутков (-∞, ], [ ],…[ ,+∞) представляет собой полином степени не выше, чем r и всюду r-1 раз непрерывно дифференцируема, т.е.

Заметим, что при r=1 сплайн первой степени представляет из себя непрерывную ломаную.

Сплайны очень удобно применять для решения задач интерполяции. Отличительные особенности сплайнов от полиномиального случая заключаются в следующем:

1. наличие 2 систем узлов: - узлы интерполяции и - узлы сплайна;

2. сплайн может обращаться в нуль на целых интервалах, что невозможно для полиномов;

3. условие однозначной разрешимости задачи сплайн-интерполяции будет зависеть от взаимного расположения узлов сплайна и узлов интерполяции.

Пусть r N.

Определение. Функцией срезки назовем следующую функцию

.

Заметим, что

Отметим некоторые свойства функции срезки.

1. Для k∈1: (r-1) производная функции срезки вычисляется по формуле

2. При x≠0 производная r-го порядка

.

Заметим, что в точке х=0 эта производная терпит разрыв 1-го рода, а значит r- ая производная функции срезки не является непрерывной, поэтому

Отметим, что функция - функция, r-ая производная которой в точке х=0 имеет конечный скачок.

Определение. Функция вида

называется полиномиальным сплайном степени r с m узлами

.

Заметим, что это определение эквивалентно приведенному выше, так как:

1. S(x) . Это следует из свойств функции срезки.

2. нетрудно видеть, что на каждом из частичных промежутков (-∞, ], [ ],…[ ,+∞) функция S(x) представляет собой полином степени не выше, чем r (причем эти полиномы могут быть, вообще говоря, различными на различных промежутках).