21. Растровое представление окружности: постановка задачи, простой алгоритм, алгоритм Брезенхейма.

Из геометрии мы знаем, что окружность с центром в точке (xc,yc) и радиусом r, задается параметрически с помощью системы уравнений:

Отсюда не сложно получить алгоритм генерации окружности:

1. Полагаем А=0.

2. Если А больше либо равно 2, то окружность отрисована.

3. Вычислим x=Trunc(xc+r*cos(A)), y=Trunc(yc+r*sin(A))

4. Screen[x,y]=Color

5. Увеличим A на d и перейдем к шагу 2.

В данном алгоритме d подбираем в зависимости от радиуса окружности и разрешающей способности устройства вывода. Основная причина, по которой использование данного алгоритма нецелесообразно – очень низкая скорость работы, связанная с использованием вещественных чисел, и тем более вычислением тригонометрических функций.

Если точка (x,y) лежит на окружности с центром в точке (0,0), то и точка (x,-y), так же лежит на этой окружности. Последнее утверждение можно развить, а именно: если точка (x,y) лежит на окружности с центром в точке (0,0), то и точки (x,-y);(-x,-y);(-x,y);(y,x),(y,-x);(-y,-x);(-y,x), так же лежат на этой окружности. Координата x увеличивается на единицу на каждом шаге. Так же координата y либо уменьшается на единицу, либо остается без изменений. Нужно выбрать, куда переходить из точки (x_i,y_i) либо в точку (x_i+1,y_i), либо в точку (x_i+1,y_i-1). Для того, чтобы осуществить выбор рассмотрим две невязки:

dⁱ₁=(x_i+1)²+y_i²-r²

dⁱ₂=(x_i+1)²+(y_i-1)²-r²

А так же будем следить за их суммой:

dⁱ=dⁱ₁+dⁱ₂

Рассмотрим несколько вариантов расположения "вещественной" окружности относительно "целых" точек:

Случай 1. dⁱ₁ < 0, dⁱ₂ < 0, и следовательно dⁱ < 0. Случай 2. dⁱ₁= 0, dⁱ₂ < 0, и следовательно dⁱ < 0. Случай 3. dⁱ₁ > 0, dⁱ₂ < 0, и следовательно имеем два варианта для dⁱ: Случай 3.1. |dⁱ₁| < |dⁱ₂| и следовательно dⁱ < 0. Случай 3.2. |dⁱ₁| > |dⁱ₂| и следовательно dⁱ > 0. Случай 4. dⁱ₁ > 0, dⁱ₂=0, и следовательно dⁱ > 0: Случай 5. dⁱ₁ > 0, dⁱ₂ > 0, и следовательно dⁱ > 0:

В случае, если dⁱ < 0 надо активировать точку (x_i+1,y_i), а в случае, если dⁱ > 0 надо активировать точку (x_i+1,y_i-1). dⁱ=dⁱ₁+dⁱ₂=(x_i+1)²+y_i²-r²+(x_i+1)²+(y_i-1)²-r²=2x_i²+2y_i²+4x_i-2y_i+3-2r²

Теперь получим выражение dⁱ⁺¹ через dⁱ .

dⁱ⁺¹=2x_i+1²+2y_i+1²+4x_i+1-2y_i+1+3-2r²=dⁱ+4(x_i-y_i)+10

Осталось получить значение d¹ в начальной точке (x₁=0,y₁=r):

d¹=3-2r

Если x > y, то выходим.

1. Screen[x+xc,y+yc]:=Color;

2. Screen[x+xc,-y+yc]:=Color;

3. Screen[-x+xc,y+yc]:=Color;

4. Screen[-x+xc,-y+yc]:=Color;

5. Screen[y+xc,x+yc]:=Color;

6. Screen[y+xc,-x+yc]:=Color;

7. Screen[-y+xc,x+yc]:=Color;

8. Screen[-y+xc,-x+yc]:=Color;

Если d < 0, то d:=d+4*x+6, переходим на Шаг 13

d:=d+4(x-y)+10; y:=y-1;

Билет 11

10. Геометрическое моделирование и решаемые им задачи…

Модель – это представление некоторых, необязательно всех, свойств объекта, либо конкретно существующего, либо абстрактного, его особенностей.

При оценке степени соответствия синтезированных изображений и оригинала в телевидении и кинематографе используются три уровня подобия:

1. Физическое подобие означает, что изображение по основным физическим характеристикам повторяет оригинал. Подобие считается физически полным, если характеристики оригинала и изображения полностью подобны или строго пропорциональны.

2. Психофизическое (физиологическое) – соответствие на уровне зрительных ощущений, например фотореалистичная графика.

3. Психологическое – предполагает лишь некоторую схожесть между объектом и изображением: чертежи, проволочные модели и т.п

геометрические модели – это модели состоящие из след компонентов:

- пространственное расположение и форма – геометрия объекта; некоторые атрибуты: цвет, текстура;

- топология (связность с другим объектом).

Способы представления объектов:

Аналитическая модель – это набор чисел и, если необходимо, логических параметров, которые играют роль коэффициентов и других величин в уравнениях, аналитических соотношениях, задающих объект данного типа.

Координатные модели – это наборы точек, принадлежащих объектам, которые задаются координатами.

У координатных моделей могут быть разновидности:

- координатно-разностные модели, где вместо координат их разности;

- помимо координат, в каждой точке могут быть указаны дополнительные характеристики(проекции нормалей, векторов, значения каких-либо параметров и т.п.);

- могут быть дополнены кодами, управляющими командами (при описании нескольких кривых это могут быть команды окончания кривых, коды завершения моделей и т.п.);

- приближенные координатные модели; предполагается, что в связи с погрешностями измерений и другими факторами точки этих моделей смещены относительно их правильного положения, тогда здесь возникает задача аппроксимации – поиска такой линии или поверхности, которые бы проходили как можно ближе к заданным точкам.

Декартова система координат – основа численного моделирования объектов.

Одну и ту же фигуру можно задать разными способами, но обычно выделяют те, для которых количество параметров минимально. Это минимальное количество называют параметрическим числом образа.

В задании объекта могут также участвовать логические параметры. Эти параметры не влияют на параметрические числа объектов и можно ограничиться числами 0 и 1 или же установить параметр по знаку числа. Так же очень важно задавать направление вычерчивания, которое необходимо для определения видимости сторон. Для этого используют касательные векторы, или векторы направления.