Переход от изображений к оригиналам с помощью формул разложения.
Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов
где
.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
(3)
где
-
к-й корень уравнения
.
Для
определения коэффициентов
умножим
левую и правую части соотношения (3) на
(
):
При
Рассматривая
полученную неопределенность типа
по
правилу Лапиталя, запишем
Таким образом,
Поскольку
отношение
есть
постоянный коэффициент, то учитывая,
что
,
окончательно получаем
- формула разложения
Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.
1. Определение независимых начальных условий путем расчета до коммутационного режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
Формулы включения.
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
Формула
включения на экспоненциальное напряжение
где - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); - к-й корень уравнения .
Формула
включения на постоянное напряжение
(вытекает
из (2) при
)
Формула
включения на синусоидальное напряжение
(формально
вытекает из (2) при
и
)
В
качестве примера использования формулы
включения рассчитаем ток в цепи на рис.
2, если в момент времени t=0 она подсоединяется
к источнику с напряжением
;
;
.
В
соответствии с заданной формой напряжения
источника для решения следует
воспользоваться формулой (2). В ней
.
Тогда корень уравнения
.
Производная
и
.
В результате
Сведения расчета переходного процесса операторным методом к расчету с нулевыми начальными условиями.
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.
Методику
сведения цепи к нулевым начальным
условиям иллюстрирует рис. 3, на котором
исходная схема на рис. 3,а заменяется
эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где
.
Последняя в соответствии с принципом
наложения раскладывается на две схемы;
при этом в схеме на рис. 3,в составляющая
общего
тока
равна
нулю. Таким образом, полный ток
равен
составляющей тока
в
цепи на рис. 3,г, где исходный активный
двухполюсник АД заменен пассивным ПД,
т.е. схема сведена к нулевым начальным
условиям.
Следует
отметить, что если определяется ток в
ветви с ключом, то достаточно рассчитать
схему на рис. 3,г. При расчете тока в
какой-либо другой ветви АД в соответствии
с вышесказанным он будет складываться
из тока в этой ветви до коммутации и
тока в ней, определяемого подключением
ЭДС
к
пассивному двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.
Переходная проводимость
При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде
,
где
-
собственная (к=m) или взаимная
проводимость.
Это соотношение, трансформированное в уравнение
|
(3) |
,
будет
иметь силу и в переходном режиме, т.е.
когда замыкание ключа в m-й ветви
подключает к цепи находящийся в этой
ветви источник постоянного напряжения
.
При этом
является
функцией времени и называется переходной
проводимостью.
В
соответствии с (3) переходная проводимость
численно равна току в ветви при подключении
цепи к постоянному напряжению
.
Переходная функция по напряжению
Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.
Если
линейную электрическую цепь с нулевыми
начальными условиями подключить к
источнику постоянного напряжения
,
то между произвольными точками m и n цепи
возникнет напряжение
,
где
-
переходная функция по напряжению,
численно равная напряжению между точками
m и n схемы при подаче на ее вход постоянного
напряжения
.
Переходную
проводимость
и
переходную функцию по напряжению
можно
найти расчетным или экспериментальным
(осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
,
где
.
Тогда переходная проводимость
.
Переходная функция по напряжению
