8.4 Методы выявления тенденции развития явления в динамических рядах

Важнейшей задачей анализа динамических рядов является выявление основной тенденции, то есть направления и характера изменения признака во времени. В ряде случаев тенденция четко выражена и не требует выявления. Задача сводится к описанию тенденции в виде математической функции.

Но чаще всего исследователь имеет дело с рядами, в которых тенденцию выявить достаточно сложно в силу колебания уровней ряда

Чтобы ответить на вопрос, почему в одних случаях тенденция проявляется четко, а в других – нет, следует уяснить, под влиянием каких факторов формируется каждый уровень ряда.

На каждый уровень ряда (у) влияет много различных факторов, которые можно объединить в 3 группы:

- факторы, постоянно воздействующие на уровни ряда. Эти факторы определяют тенденцию развития. Например, улучшение породного состава стада в динамике приводит к росту его продуктивности. Напротив, ухудшение уровня кормления приведет к сокращению продуктивности скота и птицы.

- факторы, периодически воздействующие на уровни ряда. Эти факторы определяют устойчивые колебания уровней во времени. Колебания могут возникать в течение года ( так называемое явление сезонности) или в течение более длительного периода, свыше года ( так называемое явление цикличности). Факторы, которые вызывают явления сезонности и цикличности, называются факторами сезонности и факторами цикличности.

- случайные факторы, воздействующие на уровни ряда без какой –либо закономерности, в случайном порядке. Они действуют хаотично, вызывая вариацию ( изменчивость) уровней ряда.

Действуя одновременно, факторы определяют величину признака в каждый конкретный промежуток времени. Если влияние факторов сезонности, цикличности и случайных факторов велико, то тенденция развития не проявляется четко. На рисунке 4.2 видно, что тенденция к росту уровней ряда по прямой линии «затушевана» влиянием других факторов. Для выявления четкой тенденции необходимо устранить влияние прочих факторов, кроме факторов тенденции. С этой целью в статистике разработаны методы выравнивания динамических рядов.

В основе методов положено свойство средних величин отражать типические черты признака при обобщении индивидуальных значений. Осреднение может быть как непосредственно по уровням ряда, так и по показателям динамики –абсолютному приросту, коэффициенту роста и т.п. В зависимости от характера осреднения методы выравнивания объединены в две группы( рис.4.3) ( слайд 3.8.15)

Метод укрупнения периодов

Суть метода заключается в замене индивидуальных уровней ряда на определенных отрезках времени средней величиной.

Средние уровни сопоставляются друг с другом с учетом их хронологической последовательности, и делается вывод о тенденции ряда.

Пример применения метода укрупнения периодов: ( слайд 3.8.17)

8.7. Динамика поголовья свиней в крестьянских (фермерских) хозяйствах РФ

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Поголовье, тыс.гол.	466	399	446	503	535	499
Сумма за 3 года	-	1311	-	-	1537	-
Средняя за 3 года	-	437	-	-	512	-

На графике выровненные уровни представляются в виде отрезков прямых, расположенных на разных уровнях относительно друг друга. При сравнении этих отрезков делают вывод о тенденции. В нашем примере наблюдается тенденция к росту поголовья свиней за период с 2000 по 2005год.

Рис.4.3. Схема методов выравнивания динамических рядов.

Укрупненные средние величины могут быть рассчитаны за равные или разные отрезки времени. Осреднение уровней за равные промежутки времени целесообразно проводить в рядах с одинаковыми факторами тенденции формирования уровней. Осреднение уровней за неравные промежутки времени целесообразно проводить по рядам с разными факторами тенденции. Как правило, это ряды динамики большой продолжительности, с разными условиями производства. Например, уровни экономических показателей усредняются отдельно в дореформенный период (действовали факторы плановой экономики) и пореформенный период (действуют факторы рыночной экономики). С целью разделения разнокачественных уровней ряда динамики, проводят периодизацию динамических рядов, то есть типологическую группировку уровней в пределах динамического ряда.

Метод скользящей средней

Метод скользящей средней заключается в замене фактических уровней ряда средними величинами, сформированными по равновеликим интервалам, скользящим по динамическому ряду со сдвигом на 1 дату от начала к концу динамического ряда.

Например, в динамическом ряду скользящие 3-хлетние средние будут рассчитаны таким образом:

_{= ; = ; = ; = ;}

Проиллюстрируем метод на предыдущем примере:

8.8. Расчет скользящих средних ( слайд 3.8.18)

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Поголовье, тыс.гол.	466	399	446	503	535	499
Сумма за 3-летние скользящие интервалы	-	1311	1348	1484	1537	-
3-х летняя скользящая средняя	-	437	449	495	512	-

Метод имеет преимущество перед укрупнением периодов за счет дополнительной информации между крайними интервалами. Однако следует принимать во внимание, что длина интервала в рядах с выраженной сезонностью должна быть равна длине сезонной волны. В противном случае оценка основной тенденции будет затруднена.

Методы аналитического выравнивания

Методы укрупнение периодов и скользящая средняя обладают существенным недостатком: отсутствует математическая запись тенденции. Этого недостатка лишены приемы аналитического выравнивания, которые рассматривают уровни ряда как функцию времени: У_t=f (t) в виде математического уравнения. Уравнение применительно к рядам динамики называется уравнением тренда или трендовой моделью.

Суть аналитического выравнивания заключается в замене фактических уровней теоретическими значениями, полученными на основе математического уравнения, отражающего основную тенденцию. Однако, формализация тенденции в виде математического уравнения должна проводиться при условии однотипности развития явления в динамике, то есть при условии действия одной группы факторов тенденции. В длительных динамических рядах с разными факторами тенденции перед аналитическим выравниванием проводят периодизацию ряда с выделением однотипных периодов. В пределах каждого периода затем проводят аналитическое выравнивание.

Методика получения теоретических значений по аналитическим функциям может быть различной. Рассмотрим возможные варианты аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания по среднему абсолютному приросту ( слайд3. 8.19)

Аналитическая функция имеет вид У_t = У₀ + t,

где У_t – функция уровня динамического ряда от времени t,

У₀ – начальный уровень ряда

- средний абсолютный прирост, рассчитанный как

или

t – порядковый номер временного отрезка ( t= 0,1,2,…п)

Рассмотрим применение метода на примере ( таб.8.9)

8.9. Анализ тенденции надоев коров в с.-х. организациях РФ методом выравнивания по среднему абсолютному приросту (слайд 3.8.19)

Год	Надой молока на 1 корову (фактические уровни), кг уi	Порядковый номер года t	Теоретические значения уровней, рассчитанные по уравнению среднего абсолютного прироста Уt = 2341+ 181,5 t	Разность фактического и теоретического уровней ( уi - Уt )	Квадрат разности ( уi - Уt )2
2000	2341	0	2341+ 181,5 *0= 2341,0	0	0
2001	2551	1	2341+ 181,5 *1= 2522,5	28,5	812,25
2002	2878	2	2341+ 181,5 *2= 2704,0	174	30276
2003	2979	3	2341+ 181,5 *3= 2885,5	93,5	8742,25
2004	3067	4	2341+ 181,5 *4= 3067,0	0	0
Итого	13750	х	13520	х	39830,5

Для решения уравнения определим средний абсолютный прирост: = =

Вид решенного уравнения : У_t = 2341+ 181,5 t

Подставляя в уравнение значения аргумента t, получим теоретические (выровненные) значения, отражающие основную тенденцию к росту надоев коров.

Метод аналитического выравнивания по среднему коэффициенту роста

Аналитическая функция опирается на показатель - средний коэффициент роста и имеет математическое выражение показательной функции

У_t = У₀ * , где - средний коэффициент роста, рассчитанный как , t – порядковый номер временного отрезка ( t= 0,1,2,…п)

(слайд 3.8.20)

Из расчетных данных, что начальный и конечный фактические и теоретические уровни ряда совпадают. Следовательно, эта аналитическая функция будет объективно описывать тенденцию при условии примерного равенства цепных коэффициентов роста.

Выравнивание по Методу наименьших квадратов(МНК)

Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по методу наименьших квадратов на основе системы нормальных уравнений.

Этот метод наиболее эффективен для выявления тенденции по следующим причинам:

- аналитическая функция может быть любой формы, сообразно характеру изменения фактических уровней ряда;

- параметры уравнения реализуют условия минимизации отклонений фактических значений от теоретических, то есть получения минимальной суммы квадратов отклонений Σ( у_i - У_{t )}² по сравнению с любыми другими теоретическими значениями, рассчитанными по другим методам.

В то же время возникает проблема верного выбора вида (формы) уравнения. Ее решение по существу определяет эффект применяемого метода. Наиболее эффективный способ определения формы функции основан на изучении графика динамики фактических данных.

Если уровни располагаются примерно по прямой линии, имеют примерно равные цепные абсолютные приросты, выравнивание проводится по уравнению прямой (линейному тренду) :

Уt = а ₀+ а ₁ t или : (слайд 3.8.21)

Уt = а ₀ - а ₁ t

Если уровни ряда отражают ускоренное или замедленное изменение, то целесообразно брать функцию в виде параболы 2-го порядка:

Уt = а ₀+ а ₁ t +а ₂ t ² .

Если примерно равны цепные коэффициенты роста ( т.е. уровни меняются в геометрической прогрессии), целесообразна форма показательной функции

У_t = а ₀ * .

Если изменение признака замедленное, но не достигает нуля, выбирают гиперболу У_t = а ₀ + .

Для характера изменения уровней по синусоиде подойдут полиномы п -степени:

Уt = а ₀- а ₁ t +а ₂ t ² - а ₃ t ³+…. а _п t ^п

Для случаев, когда неясно, какую функцию взять за основу, рассматривают разные варианты функций и предпочтение отдают той, при которой Σ( у_i - У_t )² минимальная.

Рассмотрим пример применения метода по динамическому ряду надоев коров.( таб.8.10)