22. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней – у = а + bх + сх² + ε,

у = а + bх + сх² +dx³+ ε,

• равносторонняя гипербола –

Нелинейная регрессия по включенным переменным определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у = а₀ + а₁ х + а₂ х² + ε,

заменяя переменные х₁ = х, х₂ = х², получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ + ε,

для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

.

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив на z, получим линейное уравнение регрессии y = a +bz+ ε, оценка параметров которого может быть дана МНК.

Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

23. Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

• показательная – у = аb^х ε;

• экспоненциальная –

• степенная –

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

y=ax^bε,

где у – спрашиваемое количество; х – цена; ε – случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

lnу = lnа + b lnx + ln ε.

Если же модель представить в виде y=ax^b + ε то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид.