7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует ( ; ) в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклостей.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА: пусть график функции имеет в точке перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим обратное. Тогда в силу непрерывности по свойствам функции непрерывной в точке, существует окрестность точки , в которой

/ . Тогда график функции имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности, но это противоречит наличию перегиба в точке .

Заметим, что если , то - точка перегиба.

8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует ( ; ) в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклостей.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА. Пусть функция имеет вторую производную в ( ; ), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке (x₀; f (x₀).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из того, что f "(x₀) слева и справа от точки x₀ имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x₀ является различным. Это и означает наличие перегиба в точке (x₀; f (x₀)).

9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат. Виды асимптот: горизонтальная, вертикальная, наклонная.

Прямая – ВЕРТИКАЛЬНАЯ асимптота графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен . (если , или , или ) точки разрыва и граничные точки ООФ.

(Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения.)

Для отыскания вертикальной асимптоты нужно найти те значения х, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Прямая где – НАКЛОННАЯ асимптота графика функции при если можно представить в виде: б.м. и при

1) ; , т.к.

2)

Нахождение наклонной асимптоты: 1) находим . Если lim=0 , то наклонной асимптоты нет. 2) если lim существует и конечен, вычисляем . Если lim= или не существует, то наклонной асимптоты нет, если lim существует и конечен, то асимптота имеет вид kx+b . При к=0 наклонная асимптота становится горизонтальной.