1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
Функция называется монотонной на (a;b) если она возрастает или убывает на этом промежутке.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ возрастания/убывания функции.
Если
дифференцируемая на
функция
f(x)
возрастает/убывает, то
/
f’(x)
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
на
.
Возьмем произвольную точку
и
(
.
1)
;
;
;
;
.
2)
;
;
;
;
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ это означает, что касательная к графику возрастающей/убывающей функции образует острые/тупые углы с положительным направление OX и в некоторых точках || OX.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ возрастания функции.
Если функция дифференцируема на (a;b) и
на
,
то функция возрастает на данном
промежутке.Если функция
,
то функция строго возрастает убывает.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
,
и
- произвольные точки на
,
такие что
, тогда на
выполнены все условия теоремы Лагранжа.
,
где
;
,
,
т.е.
,
а следовательно функция возрастает.
2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
Функция называется монотонной на (a;b) если она возрастает или убывает на этом промежутке.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ возрастания/убывания функции.
Если
дифференцируемая на
функция
убывает,
то f’(x)
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
на
Возьмем
произвольную точку
и
(
.
1) ; ; ; ; .
2) ; ; ; ; .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ это означает, что касательная к графику возрастающей/убывающей функции образует острые/тупые углы с положительным направление OX и в некоторых точках || OX.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ возрастания/убывания функции.
Если функция дифференцируема на (a;b) и
на
,
то функция возрастает/убывает данном
промежутке.Если функция
, то функция строго убывает.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , и - произвольные точки на , такие что , тогда на выполнены все условия теоремы Лагранжа.
,
где
;
,
,
т.е.
,
а следовательно функция убывает.
3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
Точка
является точкой локального max/min
функции
,
если для любого x
из
-окрестности
точки
выполняется: 1)
для max
2)
для min
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из ООФ. Поэтому функция имеет экстремум только во внутренних точках ООФ.
НЕОБХОДИМОЕ
УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА. Если
имеет в точке
локальный экстремум и дифференцируема
в этой точке, то
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Т.к. в точке
имеет локальный экстремум, то по
определению экстремума существует
такая
-окрестность
точки
, в которой значение
является наибольшим или наименьшим
среди всех значений функции на этом
интервале. Тогда по теореме Ферма
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ значит, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику || OX.
Такие
точки экстремума являются точками
ГЛАДКОГО ЭКСТРЕМУМА; если в точке
экстремума
не существует – это точка УЗКОГО
ЭКСТРЕМУМА (например, график
).
ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМА НЕ ВЕРНА. Т.е. если
,
.
Таким образом непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках в которых или не существует. Такие точки называются стационарными/критическими/ подозрительными на экстремум.