Физический смысл теоремы Гаусса: выражает закон создания электрических полей действием неподвижных электрических зарядов в линейных однородных и изотропных средах.

В интегральной форме закон выражен применительно к замкнутой поверхности конечных размеров, в дифференциальной – применительно к точке.

Практический смысл: рассчитывают электростатические поля, создаваемые симметричными распределениями зарядов.

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила  F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

 .

Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 

 .

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q₁, Q₂,, Q_n, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

 .

Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичногоположительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

 .

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными, а само поле - потенциальным.

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристикаэлектростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля   и потенциал   связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь   — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля  , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяетуравнению Пуассона. В единицах системы СИ:

где   — электростатический потенциал (в вольтах),   — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а   — диэлектрическая проницаемость вакуума (вфарадах на метр).

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +  и –. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E₊ + E_–(E₊ и E_– определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

                                                                     (82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Будем считать цилиндр бесконечно длинным. Заряженность цилиндра в этом случае будет характеризоваться линейной плотностью заряда, то есть зарядом на единицу длины цилиндра. Схема применения теоремы Гаусса для нахождения поля вне цилиндра следующая: в силу симметрии заключаем, что линии поля направлены перпендикулярно оси цилиндра; гауссову поверхность строим в виде цилиндра, соосного с нашим цилиндром; заключаем, что через торцевые поверхности гауссова цилиндра поток поля равен нулю, так как эти поверхности параллельны линиям поля; на боковой поверхности гауссова цилиндра величина поля всюду одинакова - в силу симметрии, поэтому E в теореме Гаусса можно вынести из-под знака интеграла; в результате теорема Гаусса принимает вид:

Для нахождения поля внутри шара также используем закон Гаусса, но гауссову сферу строим внутри шара. Если шар полый и заряд распределён по поверхности шара, то внутрь гауссовой поверхности не попадает никакого заряда, то есть поток поля через поверхность равен нулю, значит и само поле также равно нулю. Если шар сплошной и равномерно заряжен по объёму, то внутрь гауссовой сферы радиуса r попадает заряд, равный произведению объёмной плотности заряда на объём гауссовой сферы:

Поле внутри равномерно заряженного шара будет: