2. Типы графов

В п. 1 уже были определены графы неориентированные, ориентирован­ные и смешанные.

Граф G(X,E,Ф) назовем конечным, если конечны множества его вершинX, а также ребер (или дуг)E.

Назовем граф обыкновенным, если в нем отсут­ствуют петли и парал­лель­ные ребра (дуги) (рис. 2.1). Граф, имеющий параллельные ребра (дуги), называется мультиграфом, а граф, в котором есть хотя бы одна петля, называется псевдографом (рис. 2.2 и 2.3). Если граф состоит только из изолированных вершин, то он именуется тривиальным; тривиальный граф без петель называется нуль-графом (рис. 2.4 и 2.5).

Если в обыкновенном неориентированном графе любые две вершины смежны, то такой граф именуется полным. Обыкновенный орграф называ­ет­ся полным, если для любых его вершин xиyсуществуют дугиe_iиe_j, такие, чтоe_i=(x,y) иe_j=(y,x). Если в каждую вершину полного графа добавить по петле, то получившийся граф будет называться насыщенным. На рис. 2.6, 2.7 и 2.8 показаны соответственно полные неориентированный, ориентирован­ный и насыщенный графы.

Рис. 2.2. Рис. 2.3 Рис. 2.4.

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Граф G(X,E,Ф) называется двудольным (или биграфом), если множест­во его вершин может быть разбито на два непересекающихся подмножестваX₁иX₂, причемX=X₁X₂, таким образом, что каждое ребро графа имеет одну инцидентную ей вершину во множествеX₁, а другую – во множествеX₂. На рис. 2.9 показан двудольный граф. Чтобы подчеркнуть отмеченную особен­ность двудольных графов, их изображают, размещая множества вершинX₁иX₂либо в разных строках, либо в разных столбцах.

В общем случае граф называется k-дольным, если множество его вершин можно разбить наkнепересекающихся подмножествX₁,X₂, …,X_kтак, что не будет ребер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.

Граф, степени всех вершин которого одинаковы и равны r, называется однородным (регулярным) графом степениr. Полный граф сnвершинами всегда является однородным графом степениn-1. Граф третьей степени называют кубическим; этот граф обладает рядом интересных свойств и, в частности, он всегда имеет четное число вершин. Можно выделить опре­деленные классы графов, исследуя возможность их реализации в простран­стве той или иной мерности.

Будем говорить, что граф G(X,E,Ф) укладывается на поверхностиS, если его можно так нарисовать на этой поверхности, что никакие два его ребра не пересекались бы. Другими словами граф реализован на некоторой поверхности, если все его вершины и все внутренние точки ребер или дуг принадлежат этой поверхности.

Теорема 2.1.Каждый конечный графG(X,E,Ф) может быть реализован в трехмерном евклидовом пространстве.

Доказательство. Пусть рассматриваемый граф содержит mвершин иnребер (или дуг), т.е.и. Выберем произвольную прямую и на ней разместимmточек –b₁,b₂, …,b_m, поставив их во взаимно однозначное соот­вет­ствие вершинам графаx₁,x₂, …,x_m. Затем через выбранную прямую проведем пучок изnполуплоскостей, поставив в соответствие ребра графаG(X,E,Ф) и плоскости из пучка. Пусть. В полуплоскости, соответ­ствую­щей ребруe₁, соединим точкиb_iиb_j(вершиныx_iиx_jграфа) дугой окружности. Выполнив такое построение для всех остальных ребер графа в соответствующих полуплоскостях, получим в трехмерном евклидовом пространстве фигуру, являющуюся геометрической реализацией графаG(X,E,Ф). Это и доказывает теорему, так как граф и его геометрическая реали­зация оказываются изоморфными.

Приведенная теорема не допускает понижения резмерности евклидова пространства, в котором мог бы быть реализован любой степени сложности конечный граф. Однако существует класс графов, реализуемых в прост­ранстве E². Граф, реализуемый в пространствеE², называется планарным. Если граф реализован на плоскости, то все его вершины и все внутренние точки его ребер или дуг принадлежат этой плоскости. Граф, который уже размещен на плоскости, называется плоским. Плоский и соответствующий ему планарный графы изоморфны. Условия плоской реализуемости графов определяет следующая теорема.

Теорема2.2.(Понтрягина-Куратовского). Граф планарен, если ни один из его подграфов не гомеоморфен графамK₅иK_3,3.

На рис. 2.10 и 2.11 показаны планарные графы K₅иK_3,3, играющие важную роль в теории планарности и называемые графами Понтрягина-Кура­товского. ГрафK₅– это полный граф с пятью вершинами. Он является предельным графом в том смысле, что если рассматривать последо­вательность полных графов, например, с семью, шестью, пятью и т.д. числом вершин, то графK₅будет последним в этой последовательности непла­нар­ным графом с минимальным числом вершин. Полный граф с четырьмя вершинами является планарным. Кроме того, удаление хотя бы одного ребра из графаK₅делает его планарным.

Двудольный граф K_3,3также непланарен. Этот граф является моделью известной задачи о трех домах и трех колодцах: можно ли так проложить дорожки от всех домов к каждому колодцу, чтобы они не пересекались? Это соответствует ситуации. Когда поссорившиеся соседи не желают встре­чаться, но хотят пользоваться всеми колодцами.

Строгое доказательство теоремы Понтрягина-Куратовского приведено в.