Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по прикладной математике.doc
Скачиваний:
132
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
3.66 Mб
Скачать

1. Основные понятия и определения теории графов

При использовании понятия «граф» в математике чаще всего имеют в виду графическое определение (задание) связей между объектами произ­воль­ной природы. Можно говорить о графической форме представления процесса перехода цифрового автомата из одного состояния в другое, о графическом способе задания связей между атомами в молекуле вещества, о графическом представлении последовательности встреч команд при проведении спортивных соревнований и т.д. Математический аппарат теории графов является эффективным инструментом построения и исследования дискрет­ных моделей и систем различной природы.

Граф может интерпретироваться либо как некоторая геометрическая фи­гу­ра в пространстве, состоящая из точек и соединяющих их линий, либо как некоторый теоретико-множественный объект. Поэтому многочисленные оп­ре­деления понятия «граф» могут иметь либо геометрический, либо достаточ­но абстрактный теоретико-множественный смысл.

Определение1.1. МножествоX=x1,x2, …,xk, …и наборEпар объектов ви­даxi,xjили (xi,xj) из множестваXназывается графом. Будем обозначать граф символомG.

Множество Xобъектов будем называть множеством вершин графа, а эле­менты множестваE, т.е. множества пар видаxi,xjили (xi,xj), соот­ветственно ребрами или дугами. Отдельное ребро графаG, напримерekE, будем обозначать паройxl,xm, т.е.ek=xl,xm. Использование фигурных скобок в данном случае означает, что параxl,xmявляется неупорядоченной, т.е. роли не играет, какая из вершин в паре является начальной, а какая ко­нечной. Если же в некоторой паре вершин, например (xp,xq), указаны на­чальная и конечная вершины, то говорят, что эта совокупность вершин определяет дугу графа. Таким образом, ребро – это неупорядоченная, а дуга – упорядоченная пара вершин. Возможны случаи, когда начальная и конечная вершины ребра (или дуги) совпадают, в этом случае говорят, что в графе имеется петля, например,xn,xn.

Граф, состоящий из вершин и соединяющих их ребер, называется неори­ен­тированным, а граф, состоящий из вершин и соединяющих их дуг, – ориен­тированным, или кратко орграфом. Графы, содержащие как ребра, так и дуги, именуются смешанными.

Таким образом, граф Gопределяется множеством своих вершинX, мно­жеством ребер или дугEи может обозначаться символамиG(X, E). Однако в этом обозначении нет прямых указаний на то, какие вершины графаGсвязаны между собой какими именно ребрами.

Приведенное выше определение понятия «граф» в значительной степени является абстрактным, и поэтому для введения других понятий и определений целесообразно иметь геометрическую интерпретацию понятия «граф», яв­ляю­щуюся более наглядной. С этой целью будем рассматривать в евклидо­вом пространстве определенного вида геометрические фигуры , состоящие из точекb1, b2, …, bk, …, также именуемых вершинами, и линий, являю­щихся либо дугами окружностей, либо отрезками прямых; каждая из этих линий объединяет вершины в пары, например,bi, bjили (bl,bm); возможны вырожденные ситуации, когдаbi=bj, что соответствует уже рассмотренному понятию петли.

В связи с использованием геометрической интерпретации графа необхо­димо обратить внимание на следующие ограничения, которые , в частности, порождают вопросы о возможности реализации графов в прост­ранстве той или иной размерности (в трехмерном пространстве, на плос­кости).

1. Любая замкнутая кривая линия, т.е. eiE, содержит одну и только од­ну точку из множестваX(рис. 1.1,а).

2. Каждая разомкнутая линия ejEсодержит ровно две точкиxl,xmX, являющиеся ее концами (рис. 1.1,б).

3. Линии eiEиejEне могут иметь общих точек, которые не принад­лежали бы множествуX(рис. 1.1,в).

Таким образом, геометрический граф представляет собой фигуру в ев­кли­довом пространстве, которая состоит из множества точек и соединяющих их множества простых кривых, т.е. линий, не имеющих точек самопе­ре­сечения.

Между графом, интерпретируемым в теоретико-множественном смысле, и его геометрической реализацией существует взаимно однозначное соответ­ствие. Назовем фигуру геометрической реализацией графаG, если уста­нов­лено взаимно однозначное соответствие между точками – вершинами фи­гу­рыи вершинами графаG, а также между линиями, соединяющими вер­шины фигуры, и ребрами графаG, причем такое, что если (bni,bng)(xi,xj), тоbnixi,bnjxj, т.е. соответствующие кривые и ребраиGсоединяют соответствующие вершины.

На рис. 1.2 представлена геометрическая реализация графа, имеющего четыре вершины X=x1,x2,x3,x4и шесть реберE=e1,e2,e3,e4,e5,e6, причемe1=x1,x1,e2=x1,x2,e3=x2,x3,e4=x1,x3,e5=x1,x3иe6=x4,x4. Если реброeEгеометрической реализации графаG(X,E) имеет своими концами вершиныxiиxj, то говорят, что это ребро соединяет вершиныxiиxj, т.е.e=(xi,xj); на рис. 1.2 петлями являются ребраe1иe6. Пара (или большее число) ребер, соединяющих одни и те же вершины, напримерxiиxj, являются параллельными и называются кратными. На рис. 1.2 параллельными являются ребраe4иe5. Вершиныxiиxjгеометрической реализации графаG(X,E), соединенные между собой хотя бы одним ребром, называются смежными. На рис. 1.2 смежными являются вершиныx1иx2,x1иx3,x2иx3. Вершина графа, не смежная ни с какой другой вершиной этого графа (возможно, кроме себя самой), называется изолированной; изолированной является вершинаx4на рис. 1.2.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Аналогично два ребра геометрической реализации графа, имеющие хотя бы один общий конец (общую вершину), называются смежными. Смежными ребрами графа на рис. 1.2 являются, например, ребра e2иe3,e1иe5,e3иe5и т.д. Естественно, смежными являются параллельные ребра.

Таким образом, на множествах вершин Xи реберEнеориентированного графа могут быть заданы отношения смежности.

Кроме отношения смежности, относящегося к элементам одного мно­жест­ва (например, множества вершин или множества ребер), может быть определено отображение инцидентности, относящееся к элементам различ­ных множеств. Если ребро ekEгеометрической реализации графаG(X,E) соединяет вершиныxiиxj,xi,xjX, т.е.ek=(xi,xj), то говорят, что реброekинцидентно вершинамxiиxjили вершиныxiиxjинцидентны ребруek.

Таким образом, на множествах вершин Xи реберEграфа может быть задано отображение инцидентности.

Следовательно, задать граф можно, указав множества его вершин Xи ре­берEи определив отношение смежности или отображение инцидентностиФ, т.е.G(X,E,Ф). В этом случае граф оказывается полностью определенным: символФсоответствует информации о том, какими ребрами соединены меж­ду собой какие вершины графа.

От неориентированного графа можно перейти к графу ориентирован­но­му, если на каждом ребре однозначно указать направление (например стрел­кой). Две дуги орграфа G(X,E,Ф) , напримерe1иe2, называются параллель­ными (или строго параллельными), если они инцидентны одним и тем же вершинамxiиxj, при этомe1=(xi,xj) иe2=(xi,xj). Если жеe1=(xi,xj) иe2=(xj,xi), то дугиe1иe2называются антипараллельными. Петли могут быть ориенти­ро­ваны либо по часовой стрелке, либо против; однако ориентацию петли можно и не учитывать.

На основе рассмотренных понятий можно дать окончательные определе­ния неориентированного и ориентированного графов.

Назовем абстрактным неориентированным графом G(X,E,Ф) совокуп­ность непустого множестваX, произвольного множестваE, причемXE=, и произвольного отображенияФ:EX&X. Элементы множествXиE- соответ­ственно вершины и ребра графа, аФ– отображение инцидентности (отноше­ние смежности). Неупорядоченные пары вершин могут обозначаться сим­воламиxi&xj.

Абстрактный ориентированный граф (орграф) G(X,E,Ф) представляет собой совокупность непустого множестваX, произвольного множестваE, причем такого, что, и произвольного отображенияФ:EXX; эле­мен­ты множествXиEявляются соответственно вершинами и дугами графаG, аФ– отображение инцидентности (отношение смежности). Симво­ломxixxjобозначены упорядоченные пары вершин.

Рассмотрим произвольный неориентированный граф, например тот, который показан на рис. 1.2, и выделим некоторую его вершину. Число ребер неориентированного графа G(X,E,Ф), инцидентных вершинеxi(петля при этом учитывается дважды), называется степенью, или порядком этой вершины. Степень вершины можно обозначать символом(xi). Для вершиныx1графа, показанного на рис. 1.2,(x1)=5, дляx2(x2)=2, дляx3(x3)=3, а для изолированной вершиныx4(x4)=2.

Пусть G(X,E,Ф) – ориентированный граф. Если обозначить символоммножество дуг, входящих в вершинуxi, а символом- множество дуг, выходящих из этой вершины, то тогда числобудет называться полустепенью входа (захода) этой вершины, а число- полусте­пенью выхода (исхода) вершиныxi. Для вершиных5, показанной на рис. 1.3,, а.

В заключение этого раздела рассмотрим две теоремы, связанные с понятием степени (порядка) вершин неориентированного графа.

Теорема 1.1.Сумма степеней вершин неориентированного графаG(X,E,Ф) рав­на удвоенному числу его ребер, т.е. если

, то.

Это утверждение почти очевидно и следует из того, что каждое ребро графа инцидентно ровно двум вершинами, и поэтому вклад каждого ребра в сумму степеней вершин равен двум.

Теорема 1.2.В неориентированном графеG(X,E,Ф) число вершин нечет­ной степени четно.

Для доказательства этого утверждения разобьем множество вершин Xграфа на два подмножестваX0иX1,, причемХ0иХ1– со­от­вет­ственно множества вершин графа, имеющих четные и нечетные степени. С учетом Теоремы 1.1 можно записать

.

В правой части этого выражения – разность двух целых четных чисел, поэтому и должна быть величиной четной. Но это может быть только в том случае, если ичетно.

Граф G´(X´,E´) является частью графаG(X,E), еслиX´EиE´E, т.е. исходный граф содержит все вершины и ребра его части. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ребер (дуг) графа содержит и все инцидентные им вершины, называется подграфом. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ребер (дуг) графа содержит и все вер­шины исходного графа (X´=X,E´E), называется суграфом. Рассмот­рен­ные графы показаны на рис. 1.4.

Рис.1.4

Исходный граф по отношению к его подграфу называется надграфом, а по отношению к суграфу – сверхграфом. Совокупность всех ребер (дуг) гра­фа, не принадлежащих его подграфу, вместе с инцидентными им вершинами об­разует дополнение подграфа. Говорят, что подграфы G´ (X´,E´) иG"(X",E") разделены ребрами (дугами), если они не имеют общих ребер (дуг) (т.е.E´E"=), и разделены вершинами, если у них нет общих вершин.

Графы G(X,E,Ф) иG´ (X´,E´,Ф´) называются изоморфными, еслиX=X´,E=E´ и существует взаимно однозначное соответствие между их вершинами и ребрами, причем такое, что соответствующие вершины соединяются соответ­ствующими ребрами. Для изоморфных графовGиG´ должны суще­ствовать такие нумерации их вершин и ребер, при которых одноименные вершины оказываются соединенными одноименными ребрами. С точки зрения понятия изоморфизма абстрактный граф и его геометрическая реализация оказываются изоморфными. Поэтому в соответствии с уже доказанной теоремой о реализуемости любого конечного графа в простран­ствеE3вместо абстрактных конечных графов можно рассматривать их гео­мет­ри­ческие реализации. Другими словами, с графами можно выполнять операции, как с геометрическими объектами. На рис. 1.5 представлены изоморфные, а на рис. 1.6 – неизоморфные графы.

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Отношение изоморфизма графов является отношением эквивалентности, т.к. оно симметрично, транзитивно и рефлексивно. Поэтому множество всех графов можно разбить на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны. Изоморфные графы естественно считать совпадающими, и их можно изображать одним рисунком. Изоморфные графы могут различаться природой своих элементов, но при использовании понятия «граф» конкретная природа его вершин, ребер или дуг во внимание не принимается.

В некоторых случаях необходимо различать изоморфные графы, в связи с чем вводится понятие «помеченного графа». Граф с nвершинами назы­вается помеченным, если его вершинам присвоены некоторые метки, например, номера 1, 2, …,n.

Введем операцию подразделения ребра графа G(X,E). Пустьxi,xj– произвольное ребро этого графа иy– некоторый объект, не принадлежащий множествуX. Операция подразделения ребраxi,xjграфа заключается в построении графаG´, множество вершин которогоX´=Xy, а множество реберE´ содержит все ребра исходного графа, за исключением выделенного ребраxi,xj, и два дополнительных новых ребра:

.

Граф G2называется подразделением графаG1, если он может быть получен из графаG1путем применения конечного числа операций подразделения ребер.

Графы G1иG2называются гомеоморфными, если существуют такие их подразделения, которые изоморфны. Другими словами, два графа гомео­морфны, если они изоморфны с точностью до вершин второй степени (второго порядка). На рис. 1.7 показаны гомеоморфные графы. Изоморфизм графаG(X,E,Ф) на себя называется автоморфизмом этого графа. Автомор­физм обладает теми же свойствами, что и изоморфизм.

Рис. 1.7