22. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу распределения инвестиций:
Пусть известны возможные значения эффективности (например, прирост прибыли, выпуск продукции и др.) на каждом из четырёх предприятий отрасли в результате расширения действующих мощностей (табл.). Требуется составить план распределения ограниченных капиталовложений по этим предприятиям (К=150 д.е.), максимизирующий общий прирост выпуска продукции.
Капиталовложения |
Прирост выпуска продукции I-го предприятия |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
50 |
25 |
30 |
36 |
28 |
100 |
60 |
70 |
69 |
60 |
150 |
100 |
95 |
97 |
105 |
Ответ:
Постановка задачи динамического программирования (ДП)
максимизировать
(7.1.1)
при
условиях
(7.1.2 )
Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана.
Прямое уравнение Беллмана.
Обратное уравнение Беллмана.
при ограничениях
Решение задачи.
23. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу замены оборудования:
. Пусть r(t) – стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования, возраст которого t лет; l(t) – ежегодные затраты на обслуживание этого оборудования; s(t) – остаточная стоимость оборудования, p=22– стоимость нового оборудования. Определить оптимальный цикл замены оборудования в период времени N=4 года, чтобы прибыль от использования оборудования была максимальной, если в начале планового периода возраст оборудования равен a) 0 лет b) 1 год с) 2 года.
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
r(t) |
23 |
23 |
22 |
20 |
18 |
l(t) |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
s(t) |
16 |
15 |
13 |
11 |
8 |
Ответ:
Постановка задачи динамического программирования (ДП)
максимизировать (7.1.1)
при условиях (7.1.2 )
Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана.
Прямое уравнение Беллмана.
Обратное уравнение Беллмана.
при ограничениях
Решение задачи.
24. Управление запасами: стационарный детерминированный спрос. Формулы Уилсона.
Проиллюстрировать метод на примере: Мебельный салон продает наборы мебели для кухни по цене 60 тыс.руб. Годовой спрос составляет 2000 кухонных гарнитуров. Издержки на один заказ равны 2500 руб. Годовые издержки хранения составляют 15 % от цены набора. Каков оптимальный размер заказа и совокупные издержки на заказ и хранение в год? Салон работает 300 дней в году. Построить график циклов изменения запаса товара.
Ответ:
Детерминированный спрос точно известен заранее. При стационарном типе спроса его функция плотности вероятности неизменна во времени.
,
,
.
(7.3.20)
|
Соотношение
(7.3.20) называются формулами Уилсона, а
величина
в
(7.3.20) - экономическим
размером партии.
25. Управление запасами: стационарный детерминированный спрос с ограничением на ёмкость склада.
Детерминированный спрос точно известен заранее. При стационарном типе спроса его функция плотности вероятности неизменна во времени.
26. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи методом Беллмана, решение задачи в случае вогнутой функции затрат на пополнение запаса и линейной функции затрат на хранение
Ответ:
Детерминированный спрос точно известен заранее. При нестационарном типе спроса его функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.
Предположим, что:
все функции
вогнуты
по переменным
;
функции затрат на хранение запасов линейны, то есть
.
Тогда общее выражение для функции затрат будет иметь вид
(7.4.6)
при ограничении
,
.
(7.4.7)
Предположим, что
заданы,
заказы на поставки запасов выполняются
в начале периодов, временем на выполнение
заказа пренебрегаем
(поставки
мгновенные), а спрос каждого периода
должен
быть удовлетворен
полностью (дефицит не допускается). Надо
отыскать такие последовательности
,
минимизирующие функцию общих затрат
(7.4.6).
Рассмотрим процедуру
решения. Поскольку нужно найти минимум
суммы вогнутых функций
на
выпуклом множестве, то оптимальным
решением будет одна из крайних точек
допустимого множества решений,
определяемого ограничением (7.4.7).
Поскольку количество
ограничений равно
,
а общее число переменных
и
равно
,
то оптимальное решение содержит не
более чем
ненулевых
значений переменных. С учетом того, что
не
могут быть равны нулю одновременно (в
противном случае не будет выполняться
(7.4.7)), оптимальное решение
обладает
свойством:
.
(7.4.8)
Условие (7.4.8) эквивалентно следующей паре условий:
(7.4.9)
Поясним смысл
условий (7.4.8), (7.4.9). Заказ на изготовление
(поставку) новой партии
не
поступает, если в начале периода
имелся
ненулевой запас (
), и наоборот, если в начале периода
запас
,
то делается заказ на поставку
.
Отсюда следует, что
=
0, или
=
,
или
=
и
т.д., то есть оптимальный
размер заказа равен спросу за целое
число периодов.
Предположим, что
.
Тогда решаем задачу (7.4.6) в прямом
направлении. Пусть
-
минимальные затраты за
периодов,
если запас на начало (
)-го периода равен
.
Основное рекурентне соотношение ДП для
этой задачи имеет вид
(7.4.10)
при ограничении
,
.
В рассматриваемом
случае, поскольку
,
то минимум в (7.4.10) в силу вогнутости
функции
достигается
в одной из крайних точек
или
.
Поэтому
(7.4.11)
Аналогично
(7.4.12)
Выписав выражения,
аналогичные (7.4.12), для
,
,
.,
и
подставив их в (7.4.12), (7.4.11), получим в
результате
.
(7.4.13)
Здесь
(7.4.14)
где
-
затраты за
периодов
при условии, что последний заказ сделан
в начале периода
.
27. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи в случае, когда затраты на пополнение пропорциональны объёму заказа плюс фиксированные расходы за факт заказа и линейной функции затрат на хранение (упрощённая вычислительная схема)..
Решить по упрощённой схеме задачу управления запасами:
Предприятие планирует поставку продукции в течение 6 месяцев в таких объёмах: d1 = 80 шт.; d2 = 20 шт.; d3 = 60 шт.; d4 = 30 шт.; d5 = 40 шт.; d6 = 50 шт. Стоимость хранения 1 единицы продукции в течение месяца составляет 3 руб./месяц. Стоимость наладки (или переналадки) оборудования А=150 руб. Наладка проводится в начале только тех месяцев, когда изготовляется продукция. Требуется определить периоды времени, когда производится заказ, размер заказа и затраты на операцию за весь период.
Ответ:
Детерминированный спрос точно известен заранее. При нестационарном типе спроса его функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.
Решение задачи.
