Экзаменационные вопросы по мор-янв.14г.

1. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу распределения инвестиций:

Пусть известны возможные значения эффективности (например, прирост прибыли, выпуск продукции и др.) на каждом из четырёх предприятий отрасли в результате расширения действующих мощностей (табл.). Требуется составить план распределения ограниченных капиталовложений по этим предприятиям (К=150 д.е.), максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Капиталовложения	Прирост выпуска продукции i-го предприятия
	1	2	3	4
0	0	0	0	0
50	25	30	36	28
100	60	70	69	60
150	100	95	97	105

2. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу замены оборудования:

. Пусть r(t) – стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования, возраст которого t лет; l(t) – ежегодные затраты на обслуживание этого оборудования; s(t) – остаточная стоимость оборудования, p=22– стоимость нового оборудования. Определить оптимальный цикл замены оборудования в период времени N=4 года, чтобы прибыль от использования оборудования была максимальной, если в начале планового периода возраст оборудования равен a) 0 лет b) 1 год с) 2 года.

t	0	1	2	3	4
r(t)	23	23	22	20	18
l(t)	0	1	3	5	7
s(t)	16	15	13	11	8

3. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу:

Для трёх предприятий выделяются средства в объёме bo (млн. руб.). Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (С) (млн. руб.) и доходов (R) (млн. руб.), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные (Cj, Rj, j=1,2,3) приведены в таблице. Включение проектов с нулевыми затратами позволяет возможность отказа от расширения предприятия. Найти оптимальное распределение инвестиций, максимизирующее доход от инвестиций в объёме bo = 8 млн. руб.

Проект	Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
	C1	R1	C2	R2	C3	R3
1	3	5	3	4	0	0
2	4	6	4	5	2	3
3	-	-	5	8	3	5
4	-	-	-	-	6	9

4. Управление запасами: стационарный детерминированный спрос. Формулы Уилсона. Проиллюстрировать метод на примере:

Мебельный салон продает наборы мебели для кухни по цене 60 тыс.руб. Годовой спрос составляет 2000 кухонных гарнитуров. Издержки на один заказ равны 2500 руб. Годовые издержки хранения составляют 15 % от цены набора. Каков оптимальный размер заказа и совокупные издержки на заказ и хранение в год? Салон работает 300 дней в году. Построить график циклов изменения запаса товара.

5.Управление запасами: стационарный детерминированный спрос с ограничением на ёмкость склада.

6. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи методом Беллмана, решение задачи в случае вогнутой функции затрат на пополнение запаса и линейной функции затрат на хранение

7. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи в случае, когда затраты на пополнение пропорциональны объёму заказа плюс фиксированные расходы за факт заказа и линейной функции затрат на хранение (упрощённая вычислительная схема)..

Решить по упрощённой схеме задачу управления запасами:

Предприятие планирует поставку продукции в течение 6 месяцев в таких объёмах: d₁ = 80 шт.; d₂ = 20 шт.; d₃ = 60 шт.; d₄ = 30 шт.; d₅ = 40 шт.; d₆ = 50 шт. Стоимость хранения 1 единицы продукции в течение месяца составляет 3 руб./месяц. Стоимость наладки (или переналадки) оборудования А=150 руб. Наладка проводится в начале только тех месяцев, когда изготовляется продукция. Требуется определить периоды времени, когда производится заказ, размер заказа и затраты на операцию за весь период.

8. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках.

9. Определение оптимальных уровней запасов  y* при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

10. Схема принятия решений на основе метода анализа иерархий. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений), индекс согласованности, отношение согласованности матрицы парных сравнений. Вычисление собственных значений и векторов с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЙ.

11. Многокритериальные задачи принятия решений, парето-оптимальное множество, метод идеальной точки.

12. Многокритериальные задачи принятия решений, парето-оптимальное множество, Применение симплексного метода при решении многокритериальных задач.

13. Марковские случайные процессы с непрерывным временем. Процесс размножения и гибели.

14. Простейший поток. Формула Литтла.

15. Марковские СМО с отказами типа М/М/1, предельные вероятности состояний, показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере:

Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание одноканальной СМО с отказами равно 0,6 минуты, а среднее время обслуживания заявки 0,8 минуты. Определить: 1) вероятность того, что заявка получит отказ, 2) вероятность обслуживания заявки 3) относительную пропускную способность 4) абсолютную пропускную способность 5) среднее число занятых каналов 6) среднее время пребывания заявки в системе.

16. Марковские СМО с отказами типа М/М/n, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере трёхканальной СМО с отказами: Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание СМО с отказами равно 0,3 минуты, а среднее время обслуживания заявки одним каналом равно 0,8 минуты. Определить: 1) вероятность того, что заявка получит отказ, 2) вероятность обслуживания заявки 3) относительную пропускную способность 4) абсолютную пропускную способность 5) среднее число занятых каналов 6) среднее время пребывания заявки в системе.

17. Марковские СМО с ожиданием с конечной очередью типа М/М/1/1+m, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере СМО с ожиданием с конечной очередью типа М/М/1/1+3: Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание равно 0,6 минуты, а среднее время обслуживания заявки одним каналом равно 0,5 минуты. Определить: 1) вероятность отказа p_отк., 2) вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему(т.е. не получит отказа) р_сис. ; 3) относительную пропускную способность ; 4) абсолютную пропускную способность А ; 5) среднее число занятых каналов 6) среднее число заявок в очереди оч. ; 7) среднее число заявок, находящихся в сис теме (как в очереди, так и под обслуживанием) сис. 8) среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием) сис.

18. Одноканальные марковские СМО с ожиданием с бесконечной очередью типа М/М/1/∞, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере одноканальной СМО с бесконечной очередью: Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание равно 0,6 минуты, а среднее время обслуживания заявки одним каналом равно 0,5 минуты. Определить: 1) относительную пропускную способность ; 2) абсолютную пропускную способность А; 3) среднее число занятых каналов; 4) среднее число заявок в очереди оч.; 5)среднее время пребывания заявки в очереди оч. 6) среднее число заявок, находящихся в сис теме (как в очереди, так и под обслуживанием) сис. 6) среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием) сис.

19. Многоканальные марковские СМО с ожиданием с бесконечной очередью типа М/М/n/∞, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере СМО типа М/М/3/∞: Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание равно 0,9 минуты, а среднее время обслуживания заявки одним каналом равно 0,2 минуты. Определить: 1) относительную пропускную способность ; 2) абсолютную пропускную способность А ; 3) среднее число занятых каналов; 4) среднее число заявок в очереди оч. ; 5)среднее время пребывания заявки в очереди, оч. 6) среднее число заявок, находящихся в сис теме (как в очереди, так и под обслуживанием) сис. 6) среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием) сис.

20. Марковские СМО с ожиданием с конечной очередью типа М/М/n/n+m, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере СМО с ожиданием с конечной очередью типа М/М/3/3+4: Известно, что среднее время ожидания поступления заявки на обслуживание равно 0,9 минуты, а среднее время обслуживания заявки одним каналом равно 0,2 минуты. Определить: 1) вероятность отказа p_отк., 2) вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему(т.е. не получит отказа) р_сис. ; 3) относительную пропускную способность ; 4) абсолютную пропускную способность А ; 5) среднее число занятых каналов 6) среднее число заявок в очереди оч. ; 7) среднее число заявок, находящихся в сис теме (как в очереди, так и под обслуживанием) сис. 8) среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием) сис.

21. Замкнутая одноканальная СМО, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере одноканальной замкнутой СМО: Рабочий обслуживает группу из трёх станков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час. Процесс наладки занимает у рабочего, в среднем, 10 минут. Определить характеристики замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего, его абсолютную пропускную способность А, среднее количество неисправных станков, среднюю относительную потерю производительности группы станков за счёт неисправностей.

22. Замкнутая многоканальная СМО, предельные вероятности состояний; показатели эффективности работы СМО проиллюстрировать на примере многоканальной замкнутой СМО:

Два рабочих обслуживают группу из шести стпнков.Остановки каждого (работающего) станка случаются, в среднем, через каждые полчаса. Процесс наладки занимает у рабочего в, среднем, 10 минут. Определить характеристики замкнутой СМО: 1) среднее число занятых рабочих, 2) абсолютную пропускную способность, 3) среднее количество неисправны х станков.

23. Критерии принятия решений в условиях неопределённости. Проиллюстрировать применение критериев на примере:

Компания «А»изучает возможность производстваи сбыта некоторой продукцииюУчитываются три альтернативных варианта: больщое производство, малое производство или вообще не производить продукцию. У рыночной ситуации есть два возможных состояния: благопртятная и не благоприятная.При благоприятной рыночной ситуации большое производство позволяет получить 200 тыс.руб. чистой прибыли, малое производство 100 тыс. руб. Если рынок окажется неблагоприятным, то при большом производстве компания понесёт убытки в размере 180 тыс. руб., при малом производстве убытки составят 20 тыс. руб. Какие альтернативы следует выбрать компании при разных критериях принятия решений?

24. Дерево решений. Принятие решений в условиях риска при дополнительных затратах на приобретение относительно достоверной информации о вероятностях «состояния природы». Проиллюстрировать принятие решений в этой ситуации на примере:

Компания «А»изучает возможность производстваи сбыта некоторой продукцииюУчитываются три альтернативных варианта: больщое производство, малое производство или вообще не производить продукцию. У рыночной ситуации есть два возможных состояния: благопртятная и не благоприятная.При благоприятной рыночной ситуации большое производство позволяет получить 200 тыс.руб. чистой прибыли, малое производство 100 тыс. руб. Если рынок окажется неблагоприятным, то при большом производстве компания понесёт убытки в размере 180 тыс. руб., при малом производстве убытки составят 20 тыс. руб. Вероятности благоприятного и неблагоприятного рынка считаем равными 0,5. Услуги эксперта стоят 10тыс.руб При этом он верно предсказывает благоприятный рынок с вероятностью 0,78, а неблагоприятный рынок с вероятностью 0,73. Эксперт называет рынок благоприятным в 45% случаев, а в 55% - неблагоприятным. Построить дерево решений и решить, стоит ли воспользоваться услугами эксперта и какие альтернативы следует выбрать?

Динамическое программирование — один из разделов методов оптимизации, в котором процесс принятия решения может быть разбит на отдельные этапы. В основе метода лежит принцип оптимальности, разработанный Р. Беллманом. способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи.

Так, если система в начале k - шага находится в состоянии  и мы выбираем произвольное управление , то она придет в новое состояние в , и последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния . Последнее, означает, что этих управлениях максимизируется  величина , то есть показатель эффективности на последующих до конца процесса шагах . Обозначим через .

Выбрав оптимальное управление  на оставшихся  шагах, получим величину , которая зависит только от , то есть .

Назовем величину  условным максимумом. Если мы теперь выберем на k-м шаге некоторое произвольное управление , то система придет в состояние . Согласно принципу оптимальности, необходимо выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на последующих шагах (начиная с (k+1)-го) приводило бы к общему показателю эффективности на   шагах, начиная с k-uго и до конца. Это положение в аналитической форме можно записать в виде следующего соотношения:

,

 ,      (1)

получившего название основного функционального уравнения динамического программирования, или основного рекуррентного уравнения Беллмана.