§ 30. Задачи

1. В интервале времени (0, <х>) требования поступают в очередь в соответ­ствии с пуассоновским процессом с интенсивностью к. Их обслуживает един­ственный прибор, начинающий работать в момент и = 0. Времена обслуживания

Xl, %2 %г> •■■ являются взаимно независимыми одинаково распределенными

положительными случайными величинами с функцией распределения Р{Х/-^*}— *= H (х). Они не зависят от моментов поступления требований. Обслуживающий прибор занят, если в системе есть хотя бы одно требование. Найти вероятность G_n (х) того, что период занятости (отличный от начального периода) состоит из « обслуживании и его длительность не превосходит х.

2. В условиях задачи 1 предположим, что начальное время занятости при­бора £₀ равно t^l. Найти вероятность G^ (x) того, что начальный период за* нятости состоят из « обслуживании и его длительность не превосходит х.

3. В условиях задачи 1 предположим, что начальная длина очереди t) (0) равна с>0. Найти вероятность G_n (x \ с) того, что начальный период занятости состоит из « обслуживании и его длительность нз превосходит х.

4. В условиях задачи 1 обозначим через G (x) вероятность того, что дли­тельность периода занятости (отличного от начального) не превосходит х. Найти моменты функции G (x).

5. В условиях задачи 1 пусть t) (t) — виртуальное время ожидания в мо­мент t. Найти стационарное распределение величины r| (t) и его моменты.

6. В условиях задачи 1 обозначим через |_п длину очереди непосредственно перед поступлением «-го требования. Найти стационарное распределение вели­чины %п и его моменты.

7. В условиях задачи 1 обозначим через \ (t) длину очереди в момент /, Найти стационарное распределение величины \ (t).

8. В условиях задачи 1 предположим, что начальное время занятости при­бора г| (0) равно с. Пусть r| (t) — виртуальное время ожидания в момент t. Найти

Р (Л (0 *£ * h (0) = с).

9. В условиях задачи 1 предположим, что требования обслуживаются в по­рядке поступления. Пусть г\_п — время ожидания «-го требования. Найти пре­дельное распределение величины т\_п при я -> оо.

10. В интервале времени [0,Т] в очередь поступают « требований. Моменты .поступления являются взаимно независимыми случайными величинами, равно­мерно распределенными на [0, Г]. Требования обслуживает один прибор. Вре­мена обслуживания — взаимно независимые и одинаково распределенные слу­чайные величины с функцией распределения Р {%_r < x] = H (x). Они не зависят от моментов поступления требований. Прибор занят, если в системе есть хотя бы одно требование. Найти распределение виртуального времени ожидания т) (/) в момент t (0 < t < 7"),

11. В интервале времени [0, оо] требования поступают в моменты т₀, Т[, ..., т_г, ..., где т₀ = 0, а промежутки x_r — r_r__l, г—\, 2, ..., между мо­ментами поступления требований являются взаимно независимыми одинаково распределенными положительными случайными величинами с функцией распре« деления Р 1т,. — t_r-1 <j х) = F (х). Требования обслуживаются единственным при-бором. Времена обслуживания %_]( %2> •••> X/- ~ взаимно независимые и одина­ково распределенные случайные величины с функцией распределения H (х) — — 1 — е~^^х (х ^ 0). Они не зависят от моментов поступления требований. При­бор занят, если в системе есть хотя бы одно требование. Длина очереди непо­средственно перед моментом и = 0 равна нулю. Найтн вероятность того, что начальный период занятости прибора состоит из п обслуживании, а также ве­роятность того," что длительность начального периода занятости не превосхо­дит х.

12. Пусть в условиях задачи 11 длина очереди £₀ непосредственно перед моментом и = 0 равна I. Найти вероятность того, что длительность начального периода занятости прибора не превосходит х.