Процесс w

Рассмотрим процесс образования очереди W* = {ц (0); %* (и), О^и < оо}, введенный в § 27. Будем считать, что {%' (и), 0^и<оо}— двойственный процесс для {/ (и), 0 <! и < оо.}, где {/ (и), 0 ^ и < оо}— сепарабельный случайный процесс либо с переставляемыми при­ращениями, либо со стационарными независимыми приращениями, а почти все его выборочные функции являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в нуль при и = 0.

Мы будем искать распределения и асимптотические распреде­ ления величин r\(t),a"(t), ß*(/) для />0 и 8* для г = 0, 1, 2

Эти случайные величины полностью определяются заданием про­цесса W* или W. Для процесса W распределения случайных ве­личин r\(t), a(t), ß(/), 8_Г уже были найдены в этом параграфе. Мы сведем задачу нахождения распределений величин a'(t), ß*(/) и 8* к нахождению распределения величины r\(t).

Вероятность Р {ß* (/) < х) = Р {а* (/)>/ — х) для 0 < х < t вычис­ляется в следующей теореме.

Теорема 8. Если {/(и), 0^и<°о} — процесс с переставляе­мыми приращениями, то

P{ß'W^ + ch(0) = c} = P{_xw>/}+

+ j j (^J~j)dyd₂P{x(y)<y + t-x, %(x)^z + t-x} (62)

для 0^x<t — c.

Доказательство. В силу (2)

P{ß*W<* + cM0) = c} =

-Vix'iuXïU + x — t для некоторого ке[0, t]}. (63)

Тогда из формулы (2) § 18 следует, что Р{р*('Х* + с|т1(0) = с} =

= Р(Х(и)>и +t — х для некоторого «е[0, лс]} =

= 1 -Р{х"(и)-ы</-л: для 0<«<*}, (64)

а правую часть можно найти по формуле (1) § 15. Теорема до­казана.

Представляет интерес также соотношение

Р{ß*(/) <* + с|г)(0) = с] = 1 - Р М*) </ -*h(0) = 0}, (65)

вытекающее из (15) и (64).

Теорема 9. Если {/(и),- 0 ^ы< оо} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями, р>1 и 0<а²<оо, то не­зависимо от распределения величины т](0)

lim P ' ^р-<* =Ф(*). (⁶⁶)

*-»«> I V а^!//р³ - J

Доказательство. Имеем

ß*(0 = 4(0) 4-х*(0-»f (Я, (67)

где r\ (t) определяется соотношением (1), в котором надо заменить %(и) на х*(и). Из формулы (2) § 18 получаем, что

Р fe* (0 < 4 = Р {*(*)>/} (68)

для всех t^0 и х^0. Теперь легко доказать (используя (30)), что

llmpf *'Д^Р-<*Цф(*). (69)

Так как lim/(0/^ = P по вероятности, то

_limiiw. ₌ i ₍₇₀₎

по вероятности. Отсюда следует, что если р > 1, то lim т)* (t)j j/7 = 0 по вероятности. Очевидно, что Мтг\{0)1'\/Т = 0 по вероятности.

Поэтому при р> 1 величины ß*(/) и %* (t) имеют одинаковые асимп­тотические распределения при t-^oo. Теорема доказана.

Замечание. Пусть {/(и), 0<«<оо} — обобщенный пуассо-новский процесс, определяемый соотношением (32), причем для него верно (33). Тогда, используя (68), можно доказать, что

Если р>1, то ß*(/) и x'(t) имеют одинаковые асимптотические распределения при /-»•оо.

Теорема 10. Если {%(и), 0 < и < оо} — процесс с переставляе­мыми приращениями, то

P{eS<f + ch(0) = c) = P{x(0>f + c} +

+ jj {\~)dyd_zVh(yXy + c,x{t)<2 + c} (72)

0<г/<г«

для / ^ 0 и с ^ 0. Если в (72) с = 0, го

p(e;</|Ti(o) = o} = i-J(i-|)^p{x(/)<i/}. (73)

о Доказательство. В силу (4) Р {0о=^/ + с|т](0) = с} = Р {% (и)^.и — с для некоторого« е[0, / + с]}.

(74) Отсюда и из (2) § 18

Р {бо</ + с|т](0) = с} = Р{х(и)>и + с для некоторого «е[0, /]} = = 1-Р{х(и)-и<с для 0<и</}; (75)

вероятность в правой части можно найти по формуле (1) § 15. При с = 0 (75) следует из (3) § 15.

Сравнивая (64) и (75), получаем, что для с>0

Р (00</ + с|ri(0) = с) = Р {ß*(/ + с)</jri(0) = 0), (76)

а правую часть определяем по формуле (62). Отсюда следует (72). Представляет интерес также соотношение

P(0Ô</ + ch(O) = c} = l-P{T](/)<ch(O) = O} (77)

при с^0. Оно вытекает из (I) и (75).

Теорема 11. Пусть {% (и), 0 < и < оо} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями. Тогда для с ^ 0

Р{00<о_О!т1(О) = с}==1-Г(с)Г (78)

где W {х) определяется в теореме 2 для р < 1 и W (х) = 0 при

Доказательство. Согласно (75),

P{0û<°o|t,(0) = c} = î-P{ sup fc (и) ~ «]<<?}, (79)

а правую часть можно получить из теоремы 2. Если р<1, то W(c)>0 для с>0, а если р>1, то №(с) = 0 для с>0.

Пример. Пусть в интерв-але времени [0, оо) требования по­ступают в моменты Тц, т[, ..., х'_г, ..., где Тд = 0 и х'_г — т:'_г+1, г=\, 2, ..., —взаимно независимые одинаково распределенные положительные случайные величины с функцией распределения Р \х'_г — т'_г_₁ ^х\ — F{x). Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим работать в момент и = 0. Пусть г\ (0) — начальное время занятости прибора. Времена обслуживания %î> %2> •••> Иг» ••• являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распреде­ления Н{х) = 1 — е~^^х (х^О); они не зависят от моментов поступ­ления требований. Обслуживающий прибор занят, если в системе есть по крайней мере одно требование. Обозначим через %' (и) полное время обслуживания требований, поступающих в интер­вале [0, и]. Тогда процесс W' = {r\(0); %'(и), 0^и<оо} будет об­ратным для процесса W = {r\(0); %(и), 0 ^ и < оо), определяемого следующим способом. В интервале времени (0, оо) требования по­ступают в очередь, подчиняясь пуассоновскому процессу с интен­сивностью \i. Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим работать в момент и = 0. Начальное время занятости прибора равно т)(0). Времена обслуживания являются взаимно -независимыми и одинаково распределенными случайными величи­нами с функцией распределения F(x), не зависящими от мо­ментов поступления. Иначе говоря, W — процесс, обратный к W = {r\(0); %(и), 0^и<оо}, где {%(и), 0 ^и < оо} — обобщенный пуассоновский процесс, для которого

оо

Р {*(")<*} = 2*-^-^ Fn(x). (80)

Здесь Р_п{х) обозначает /г-кратную свертку функции F(x); F₀(x)=l -при х^О и F₀(x) = 0 при х<0.

Для обратного процесса W обозначим через ц'{t), a? (t), ß' (t), Q'_r

те же случайные величины, что и r\(t), a(t), ß(0> 6_Г для про­цесса W. Если W* — двойственный процесс для W, то будем обоз­начать через г\* (t), a* (t), ß*(0> \ соответствующие случайные ве­личины для U⁷*. Тогда легко видеть что a' (t) = a (t), ß' (t) = ß* (t) и ß'₀ = Q'_Q. Распределения случайных величин a*(t), ß* (0 и Q*₀ найдены в этом параграфе. Для применения общих теорем введем следую* щие обозначения:

со

<p(s)= J" e~^sxdF(x) (81)

. . о .

ДЛЯ Re(s)^0,

об

b= j xdF(x) (82)

о

И

oo

àl = \{x-bfdF{x), (83)

о

если интегралы в этих формулах сходятся. Тогда

Ф(5) = ^[1-ф(*)] (84)

при Re(s)>0, р = Ф'( + 0) = цо и <т²= - O^,,( + 0) = _ii(b² + a²_b)_t