§ 28. Флуктуации длины очереди

Рассмотрим процесс образования очереди Q = {ζ,₀'< N_r,r = 0,1,2,...}, введенный в § 27. Предполагается, что N_r = v₁+ ... + v_r, r = = 1, 2, ..., где {v_r} —случайные величины, принимающие неотри­цательные целые значения. Нас будут интересовать распределения случайных величин ξ _n; ζ _n ,а _n, ß _n и р _n для любого п. Эти случай­ные величины полностью определяются процессом Q. Легко про­верить, что справедливы следующие утверждения.

Длина очереди непосредственно после окончания n-го требова­ния равна

ζ_г = max {N_n — N_r — п +r + 1 для r = 0, 1,...,«— 1 и ζ₀ + N_n — п}.

(1) Действительно,

ζ _n = [ζ _n -l]⁺ + v _n, n=1,2,..., (2)

а потому формула (1) верна, ибо если среди чисел 0, 1, ..., п-1 найдется такое наибольшее г, что ζ_r — 0, то ζ_г = v_r+1 + ... + v„— — « + r + 1, а если такого г нет, то ζ_r = ζ₀ — v1 + ... +v_n — п.

Если для любого п известно распределение случайной вели­чины ζ_r то распределение величины £„ немедленно получается из равенства

Р {ξ_n+k+1≤k│ζ_0=i} (3)

Действительно, при ζ₀ = 1 каждое из событий {ξ_n+k+1 ≤k} и {ζ_n+I ≤k} происходит тогда и только тогда, когда (n + k+l)-e требование поступает после окончания (n + i)-го требования.

Число обслуживании (среди первых п), которым предшествует период бездействия прибора, равно

а _n= mах{0 и r-N_r+ 1 -ζ₀ для r = 0, 1, ..., п - 1}, (4)

и ß_n = n — a_n. Кроме того, очевидно, что

ß≥ ζo + N_n – ζ_n. (5)

Число обслуживании в начальный период занятости прибора равно

Po = min{r: ζ₀+ N_r, = r и r= 0, 1, ...}, (6)

а если такого г нет, то р₀ = ∞.

Между распределениями случайных величин а_п и р₀ сущест­вует интересная связь: для 0<k<n

P{a_n>k│ζ₀ = i} = Р {р₀ < n|ζ₀ = i+ k) (7)

и

P{a_n= 0│ζo = i} = P {p₀≥n|ζo = i} (8)

S 28. Флуктуации длины очереди 109

Равенство (8) очевидно. Для доказательства (7) заметим, что из (4) вытекает, что

Р{а_n>k} = P{ζ₀ + N_r + k≤r для некоторого r = 0, 1 п — 1},

(9) a из (6), что

Р{р₀<n} = P{ζ₀ + N_r ≤r для некоторого r= 0, 1, ..., п—1}. (10)

Сравнивая (9) и (10), видим, что вероятность того, что а_n>k для процесса с начальной длиной очереди ζ₀ = i, равна вероятности того, что р₀ < п для процесса с начальной длиной очереди ζ₀ = i + k. Отсюда и следует (7).

Процесс Q

Далее мы будем предполагать, что {v_r} — либо переставляемые случайные величины, принимающие неотрицательные целые зна­чения, либо, в частности, взаимно независимые и одинаково рас­пределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые значения. Для них мы будем использовать те же обозна­чения, что и в гл. 2, а именно Р{v_r = i} = π_i, i = 0, 1, 2, ..., Е {z^Vr} = π(z), E{v_r} = Y. E{v_r(v_r — 1)} = Y2. Var{v_r} = (δ² и z = δ -наи­меньший неотрицательный вещественный корень уравнения π(z) = z. Если y≤l и π₁≠1, то δ=l. Если у> 1 или π₁ = 1, то 0 ≤δ<1.

Теорема 1. Если v_1, v₂, ..., v_n —переставляемые случайные величины, то при i ≥1

P{ζ_n≤k│ζ₀ = i} = P{N_n≤n + k-i}-

P{ζ_n = 0│ζ_n= i}= -∑∑‚{1- } (H)

и, в частности,

n-i

P fè„ = 0|Ç„ = /} = J] (l - {) P {N_n = j) (12)

при /^ 0.

Доказательство. Рассмотрим соотношение (1) для £„.

Если заменить v,, v₂ v„ на v„, v_n-_u ..., v,, получим новую

случайную величину

l_n = max{N_r-r + 1 для r = \ п и N_n~n + Q, (13)

распределение которой совпадает с распределением величины £„. Таким образом,

Vfc_n<k\Z₀ = i} = P{N_r<r + k для л = 1, ...,п и N_n^n + k-î).

(14)

Для /^ 1 правую часть равенства (14) можно найти из формулы (2) § 6. При / = 0 и /= 1 значения (14) совпадают. Если же k = = 0, то (14) можно получить из формулы (4) § 6. Теорема .дока­зана.

Если V,, v₂, ..., v_n — взаимно независимые и одинаково рас­пределенные случайные величины, то в соотношении (11) можно написать V{N, = j + k, N_n = j + k + /}= P {N, = / + k) P {#„_, = /}. Тогда (И) и (12) дают

P {£» <k\Zo = i) = P {N_n <ti + k - i} -

- S P &n-i = 0|g₀ = i} P {N, = j + k) (15) для i~^0. Устранив условие £₀ = /, получим

n

P ß_n < k) = P fc, + N_n < n + £} - 2 P ß„-_y = 0} P {iVj = / + k). (16)

Теорема 2. £слы {v_r} — взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины и у<1, то предельное рас­пределение lim Р {|„ = k} = P_k, k = 0, 1,2, ..., существует и не за-

П->оо

висит от распределения начальной длины очереди. Для \ z | < 1

fc=0

где Я₀ = 1 — у, я Ль /г=1,2, ..., задаются формулами (15) w (16) § 7. Вероятности Q_k = Я₀ + ... + Я_А, £ = 0, 1, 2, . . ., задаются формулами (10) и (11) § 7. Кроме того, для k = 0, 1,2, ...

оо

Q*-1-(1-Y)SP{^ = / + ä}. (18)

£с<щ v^l u n^l, то lim Р {|„ = k} — 0 для любого k вне за-

висимости от распределения начальной длины очереди.

Доказательство. Предельные распределения для {£„} и {£„} совпадают, ибо из (3) вытекает, что

Hm Р (!„ < k | Со = /} = lim Р {£„ < k | & = /} (19)

для любого /. Далее, в силу (14)

P{N_r<r + k для г=1, ..., n)-Pfe₀ + N_n>n + k}^

<Pß_nO}<P{tf,<r + Ä для г=1, ..., л}. (20)

Согласно слабому закону больших чисел, lim N_n/n = y по ве-

П->оо

роятности. Если y<1. ^{то из} этого следует, что lim Р{£₀ + jV„ >

гс->оо

>п + й} = 0 для любой случайной величины £₀ и для любого k. Пусть Y<1; положим в (20) п->оо. Тогда по теореме о непре­рывности для вероятностей

limPß_n</s} = P{W,<r + £ для г=1, 2, ...} = Q_k, (21)

га-»оо

вне зависимости от распределения начальной длины очереди. Ве­роятности {Q_k} заданы в теореме 3 (или теореме 4) § 6. Явные формулы для Q_k, k = 0, 1, 2, . . ., и. P_k = Qk-Qk-u k=\, 2, ..., приведены в § 7.

При Y^l ^и щ¥=1 ^по теореме 3 § 6 правая часть неравен­ства (20) стремится к нулю при п->оо. Отсюда следует, что lim Р {£„ <; k) = 0 для всех k, и теорема доказана.

гс->оо

Замечание. При л₀>0 и я₀ + п₍<1 теорему 2 можно до­казать также с помощью теории цепей Маркова. В этом случае {£„, п = 0, 1,2,...} является неприводимой и апериодической цепью Маркова с пространством состояний / = {0, 1, 2, ...}. Следова­тельно, пределы lim Р {£„ = k) = P_k, k = 0, 1, 2, ..., существуют

га-»оо

и не зависят от начальной длины очереди. При этом либо (i) P_k>0 для k = 0, 1, 2, ... и {P_k} — вероятностное распределение,

т. е. 2 Pk = 1. ^либо (Ü) Р_й = 0 для k = 0, 1, 2 В случае (i)

fe=0

{£„} имеет единственное стационарное распределение, согласую­щееся с {Pk}- В случае (И) {£„} не имеет стационарного распреде­ления.

Пусть {P_k} — стационарное распределение для {£„}. Положим

оо

P(2)=2/V (22)

fe=0

для |z|^l. Тогда в силу (2)

P(z) = [P₀+ ^Р(г)-^Ра]л(г), (23)

откуда

P(z)=--P₀ ('-*)"(*). (24)

⁴ ' ^и л (г) — г ^v '

Требование Р(1)=1 дает Р₀= 1 — л'(1) = 1 — у. Следовательно, если y<1. то существует стационарное распределение {Р_к}, произ­водящая функция которого задается формулой (24) с Р₀ = 1 — у, а для {£„; /г = 0, 1, 2, ...} выполняется случай (i). При у~^ 1 пред­положение о существовании стационарного распределения ведет к противоречию. Поэтому {£„; /г = 0, 1, 2, ...} не имеет стационар­ного распределения и выполняется случай (И).

В следующей теореме вычисляется вероятность

Р (ß« < Щ = Р {а_п > п - k) для О < k < п.

Теорема 3. Если \_и v₂, ..., v„ — переставляемые случайные величины, то

п-\

P{a„>è-/U₀ = /} = 2jP{^/ = /-é} (25)

i-k

для / < й < /г и k>0. Если k = / = 0, то Р {а_п>О1 £₀ = 0} = 1.

Доказательство. Согласно (4),

Р К > * - Л &> = i) = 1 - Р {г ~ Nr < k для г = 0, 1, ..., п - 1}. (26)

Если £>0, то правая часть определяется из формулы (1) § 8. Случай k — 0 тривиален.

Теорема 4. Если v_n г=1, 2, ..., —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, Е{v_r} = у<1 и Var {v_r} = ст², то независимо от распределения величины £₀

\i_mplbjz£L_<x]_{=0{x)j (}27)

«-►со (. cm'^J J

где Ф {х) — нормальная функция распределения со средним 0 и дисперсией 1.

Доказательство. Согласно (5),

ß„ = So+ #„-£„. (28)

Тогда по центральной предельной теореме

limPf ^""^ <*} = Ф(*). (29)

Л->оо I CTrt'² J

Далее, lim £₀//г^1/2 = 0 по вероятности для любого £₀. Если Y>1,

Я->°о

то lim NJn — y< 1 по вероятности, откуда lim £„//г'^/г = 0 по вероят-

Я->оо Л->оо

ности. Поэтому если у< 1, то ß„ и Af„ имеют одно и то же асим­птотическое распределение при п—><х>. Теорема доказана.

Замечание. Если предельное распределение

limPP'^ol^CW (30)

„-»•оо I 8п )

существует и lim g_n — оо, то из (28) следует, что при у<1 слу-

П->оо

чайная величина ß„ имеет то же асимптотическое распределение, что и N_n.

Например, если P{v_r>x} = h(x)/x^a, где 1 <а<2 и lim h(cx)/h(x) = l

для любого положительного числа с, а также если g_n таковы, что P{v, >g„}~ 1/л, то в формуле (30) G (х) = G_a(x), где G₀ (at) — устойчивая функция распределения, характеристическая функция которого равна

оо

|^cfGaW = exp{-|2|^a(cos^-/sin^-sgn2)r(l-a)} (31)

оо

для вещественных значений 2.

Теорема 5. Если \_ь v₂, ..., v„ — переставляемые случайные величины, а начальная длина очереди £₀ равна г'^1, то вероят­ность того, что начальный период занятости прибора состоит из п обслуживании, равна

P{po = nl5o = fl = |P{^_B = «-i). (32)

Доказательство. Формула (6) и теорема 1 § 4 дают

Р{Ро = "1£о = '} =

= P{N_r>r — i для г = 1, ..., п — 1 и N_n = n — i} = = Р {N_r < г для г = 1 п и N_n = n — i) =

= ^{Nn = n-i}, (33)

и теорема доказана.

Если, в частности, v_b v₂, ..., v_r, ...—взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, то р_г, г = 0, 1, 2, ... —также взаимно независимые случайные величины и

Р{_Рг = я} = Р{_Ро = я|£о=1} (34)

для г = 1, 2, ... и /г = 1, 2

Теорема 6. Если v₁₍ v₂, ..., v_r, ...—взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, то для i^ 1

P{po<°°lÇo = fl = ô'. (35)

где ô — наименьший неотрицательный вещественный корень урав­нения я (г) = г. Если Y^l ^м Лч^=1, го ô=l, a если у>1 «л«

Я| = 1, ГО Ô< 1.

Доказательство. Согласно (6),

P{po<°°ISo = 0=l-P{ sup (r-N_r)<i\, (36)

а правую часть можно получить из формулы (7) § 8.

Теорема 7. Если v_h v₂, ..., v_r, ...—взаимно независимые одинаково распределенные случайные величины и начальная длина очереди £₀ равна i^l, то вероятность того, что максимальная длина очереди в начальном периоде занятости прибора не превы­шает k, равна при k ^ 1

P{£_r<fe для г = 1, ..., p₀ISo = 0 = -^f^t, (37)

где Q_k определяется производящей функцией

оо

W = l^^k=T0; (38)

ft=0

для | z | < ô; ô — наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения я{г) = z, a Q₀ — произвольная отличная от нуля константа.

Доказательство. Пусть р(/) — минимальное из чисел г, для которых N_r = r — i. Если £₀ = /, то вероятность того, что ма­ксимальная длина очереди в начальном периоде занятости прибора не превышает k, равна

P{N_r<r + k-i для г = 1, .... Р(0) = -157~. (39)

где функции Q_k, k = 0, 1, ..., определяются в теореме 2 § 7.

Если, в частности, в (37) i= 1, то получается вероятность того, что максимальная длина очереди в г-м периоде занятости (г = 1, 2, ...) не превосходит k.

Примеры, (i) Предположим, что в интервале времени (0, оо) закон поступления требований на обслуживание — пуассоновский с интенсивностью X. Начальная длина очереди в момент и = О равна £₀. Требования обслуживает единственный прибор, начи­нающий работать в момент и = 0. Обслуживающий прибор занят, если в системе имеется по крайней мере одно требование. Вре­мена обслуживания /,, %₂, ..., %_т, ... являются взаимно незави­симыми и одинаково распределенными положительными случай­ными величинами с функцией распределения Р{х_г ^*} = Н(х). Они не зависят от моментов поступления требований. Положим

оо

г|ф)= JV«d//(*) (40)

о

для Re (s) ^ О,

oo

a=jxdH(x) (41)

о и

oo

ol=j(x-dfdH(x), (42)

0

если соответствующие интегралы сходятся.

Обозначим через v_r, r=\, 2, ..., число поступлений в r-м пе­риоде обслуживания. Тогда {v,.} — взаимно независимые и одина­ково распределенные случайные величины с распределением

оо

p_{Vr = _j}=j_e-bxML_dH{x) (/ = 0,1,2,...). (43)

о

Распределение величины N_r, г = 0, 1, 2, ..., равно

Р {Nr = /} = j е~^ $f- dH_r (х) (/ = 0, 1, 2, ...), (44)

о

где Н_г(х) есть r-я свертка функции H(х) с самой собой; Н₀(х)= 1 при xTfitO и Н₀(х) = 0 при х<0.

В этом случае л (z) = ty (к ( 1 — z)), y = ка и а² = À (a² + al)- С по­мощью теорем настоящего параграфа можно найти распределения величин |„, £„, а„, ß„, p„, a также их асимптотические распреде­ления.

(ii) Рассмотрим предыдущий пример с той единственной разни­цей, что в интервале времени (0, оо) требования поступают партиями случайного объема в соответствии с законом Пуассона с интен­сивностью к. Предположим, что объемы партий являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными вели­чинами, не зависящими от времени поступления. Обозначим через р,-, у'=1, 2, ..., вероятность того, что партия состоит из j требо­ваний, и положим

оо

р(г)=^щ%р,г'. (45)

/=i

Если v_r,r=\, 2, ..., —число требований, поступивших в оче­редь в течение г-го периода обслуживания, то v₁₍ v₂, . . ., v_r, . .. — взаимно независимые случайные величины. Их общая производя­щая функция имеет вид

n(z) = q[k(l-p(z))\. (46)

Зная распределение величины v_n r=\, 2, .... можно с по­мощью теорем настоящего параграфа найти распределения вели­чин |„, £„, а„, ß„, р„, а также их асимптотические распределения.