§ 29. Флуктуации времени ожидания

Рассмотрим процесс образования очереди W = {r\(Q); %{u), 0<«<оо}, введенный в §27. Пусть {х(«), 0 ^и< оо} —веще­ственный сепарабельный случайный процесс, почти все выбороч­ные функции которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в нуль при к = 0. Мы хотим найти

распределения величин г|(/), <х(/), ß(/) и 0,, г = О, 1, 2 Эти

случайные величины полностью определяются процессом W. Время ожидания в момент t равно

r\(t) = sup{x(t)-x(u)-(t-u) для 0<w<* и r\(0) + x(t)-t}. (1)

Действительно, пусть и —наибольшее из чисел отрезка [0, t], для которых г|(м) = 0. Тогда r| (t) = %(t) — x(w) — (t — и). Если такого и нет, положим r\(t) = r\(Q) + %(t) — t. В любом из этих двух случаев соотношение (1) выполняется.

Полное время бездействия обслуживающего прибора в интер­вале времени [0, t] равно

а (?) = sup {и - х (и) - Л (0) для 0<a<f и 0). (2)

Тогда ß(t) = t — a{t). Кроме того, очевидно, что

■№ = i\(0) + x(t)-r\(t). (3)

Длительность начального периода занятости равна

0_o = inf{«: ц(0) + х(и)^.и и 0<и<оо}, (4)

если такого и нет, то 0_о = °о.

Между распределениями случайных величин a (t) и 0_О суще­ствует интересная связь: при 0<х<!/ и с^О

Р {а (0 > * | ri (0) = с} = Р {0_О < t\ т| (0) = с + х) (5)

Р {а (t) = 0 h (0) = с) = Р {0_О > t\ ï] (0) = с}. (6)

Равенство (6) очевидно. Для доказательства (5) заметим, что в силу (2)

Р {a (t) > х} = Р {г| (0) + х («) + х < « для некоторого и s [0, /]}, (7)

a в силу (4)

Р {0о < t) = Р Ь\ (0) + X («X и Для некоторого и es [0, /]}. (8)

Сравнивая (7) и (8), получаем, что вероятность того, что a(t)^x для процесса с начальным временем занятости г| (0) = с, равна вероятности того, что 0_О =0 Для процесса с начальным временем занятости г\(0) = с + х. Равенство (5) доказано.

Процесс w

Дальше мы будем предполагать, что (х(и), 0 <! и< оо} — сепа-рабельный стохастический процесс с переставляемыми или, в част­ности, стационарными независимыми приращениями. В обоих случаях почти все выборочные функции процесса будут неубы­вающими ступенчатыми^ функциями, обращающимися в нуль при и = 0, и Е{%(и)} = ри при и^О, где р — неотрицательное число (возможно, равное оо). Тривиальный случай, когда Р{%(и) = 0}=1 для всех и ^ О, исключается.

Если процесс {%(«), 0<!и<оо} имеет стационарные независи­мые приращения, то для Re(s)^0

£{_e-sx<u)} _{= e}-u<t"(s) (9)

при надлежащем выборе функции <P(s). Если число Я, = Ф(оо) конечно и положительно, зададим такую функцию распределения Н(х), что для Re(s)^0

со

it>(s)= \е-^аН{х)^\-Щ^ (10)

о

и Н(х) = 0 при х<0. Далее, р = Ф'( + 0). Если p конечно и поло­жительно, зададим такую функцию распределения Н*(х), что для Re(s)>0

со

Ц,-(₈)=|_в-«<Ш*(*) = -^ (И)

о

и #*(х) = 0 при х<0. Через Н*_п{х), п — 0, 1, 2, ..., будем обо­значать п-кратную свертку функции Н'(х); Н"₀{х)=\ при х^О и Яд(х) = 0 при х<0. Пусть со — наибольший неотрицательный ве­щественный корень уравнения 0(s) = s. Если р^1, то со = 0, а если р>1, то со>0. Далее, положим а² = — Ф" ( + 0); тогда Var (х (и)} = а²и для и ^ 0.

Теорема 1. £с./ш {% (и), 0 ^ и ^ оо) — процесс с переставляе­мыми приращениями, то

Р{т](/)<х|т](0) = _С} = Р{х(/)</ + х-с}-

- || (^)rf/P(x(l/)<!/ + ^ X(t)<z + x) (12)

0<</<z<<-c

оля всех х, с^О и />0. ß частности,

t-c

Р{т)(/) = 0|т,(0) = с}= J (l--f)d„P{x(/)<ir}, (13)

о

если 0<с</, и Р{т)(/) = 0|т)(0) = 0} = 0 при t<c.

Доказательство. Функция т)(/) определяется по фор­муле (1). Если в (1) заменить %{t) — %{u) на %(t — и), то получится новая случайная величина

fj (/) = sup fa (и) - и для 0<ы</ и r\(Q) + x(t)-t] (14)

с таким же распределением, как и у r\(t). Следовательно,

Р{т)(0-<*1л(0) = с} =

= Р{х("Х" + * Для 0<и<* и %(t)^t + x~c), (15)

а правую часть можно найти по формуле (2) § 15. Если * = 0, то (15) можно получить также из соотношения (3) § 15. Теорема доказана.

Заметим, что если (%(и), О ^и ^ Т} — процесс с переставляе­мыми приращениями, а Т — конечное положительное число, то формулы (12) и (13) верны для всех t е (О, Т].

Если процесс [%{и), 0^и<оо} имеет стационарные независи­мые приращения, то в формуле (12)

РЫу)<У + х, x(t)<z + x} = P{_x(yXy + x)P{%(t-y)^z-y}.

В этом случае в силу (13)

Р {т|(0 О |т|(0) = с} = Р fe(0 <' + х - с}~

t-c

-\ P{4(t-y) = 0\4(0) = c}d_yP{_%(y)^y + x), (16)

+0

а если отказаться от условия г\(0) = с, то

р ft(0 <*} = Pfo(0) + x(0 <* + *}-

t

- lv{i\(t-y) = 0)d_yP{x(y)<y + x) (17) +о

для всех х. При *<0 обе части равенства (17) равны нулю.

Теорема 2. Если {%(«), 0 ^ и < оо} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями и р<1, то предельное рас­пределение lim P{r|(0^*}= W (x) существует и не зависит от рас-

t->oo

пределения начального времени занятости прибора. Кроме того,

оо

W(x)-l-(l-p) jd_uP{x(y)<y + x}, (18)

+о или

^W = 0-p)Sp4W 09)

га—0

для всех х. Если р^1, то предел \im Р (r\(t) ^ х) равен 0 для

t-*oo

любого х и не зависит от распределения величины т| (0).

Доказательство. В силу ( 15) Р{ sup [х(и)-и]<*}-Р{т1(0) + х(*)>* + *}<

<Pfa(0<*}<P{ sup h(u)-u]<x}. (20)

Если р<1, то из слабого закона больших чисел вытекает, что \imP{r](0) + %(t)>t + х} = 0 для всех т](0) и х. По теореме непре-

рывности для вероятностей получаем

HmP{Ti(0<Jc} = P{ sup [х(и)-и]<*}, (21)

причем предел не зависит от распределения величины г| (0). Пра­вую часть равенства (21) можно получить из формулы (15) или из (34) § 15. Если р^1, то из формулы (16) § 15 следует, что правая часть в (20) стремится к нулю при /->оо. Поэтому при р^1 предел lim P{ti(/) ^х} равен нулю для всех х и не зависит

от распределения величины т)(0). Теорема доказана. В силу теоремы 4 § 15

оо

.ü(s)=je-^dW(x)^_T^^ (22)

о

для Re(s)^0, где функция ty*(s) задана формулой (11).

Замечание. При р< 1 существует еще один способ опреде­ления Q(s). Так как {t](t), 0 ^* < оо} — марковский процесс, то если предельное распределение для t](t) не зависит от распреде­ления величины г)(0), процесс {t](t), 0 <^ < оо} имеет единствен­ное стационарное распределение, совпадающее с предельным.

Если {т)(/), 0 <^ <оо} — стационарный процесс, то Р{т](0^х} = = W(x) для всех /^0. Если

оо

Q(s)= J e-'*'dW(x) (23)

о

для Re(s)^0, то, переходя в (17) к преобразованию Лапласа —

Стильтьеса, получаем

t

Q (s) = é '*-^ф <*>! Q(s)-sW (0) J еУ '*-^ф(s» dy (24)

о

для всех / ^ 0 и Re (s) > 0, откуда

»M-Éïfe (25)

для Re(s)>0. Из равенства Q(0)=1 следует, что W (0)= \ —р. Поэтому, если р<1, то процесс {r\(t), 0^t<oo} имеет одно и только одно стационарное распределение \V(x), преобразование Лапласа — Стильтьеса которого определяется по формуле (25), где W(0)= l —р. Если р<1, то предел lim Р {r\(t) <Jx} существует и

t-*oo

не зависит от начального распределения, а потому он необходимо равен W(х), стационарному распределению процесса. При р^1 предположение о том, что процесс {т|(/), 0^/<оо} имеет стацио­нарное распределение, ведет к противоречию.

Так как a(t) + $(t) = t для всех t^O, достаточно найти рас­пределение случайной величины а(/) или ß(/). При этом P{ß(/)<x}=P{a(0>/-*} для всех 0<х</.

Теорема 3. Если {% (и), 0 ^ и < <х>} — процесс с переставляе­мыми приращениями, то

P{a(0>*-ch(0) = c}= J Jd_yP{%(y)<y~x} (26)

для 0^с<х<1/.

Доказательство. Согласно (2), при 0^с<х Р{а(/)>х-с|л(0) = с}= 1 -P{ü-x(ü)<x для 0<«</}, (27)

a правую часть можно получить из теоремы 1 § 17.

Заметим, что для процесса {%(«), О^Си^Г} с переставляе­мыми приращениями, где число Т конечно и положительно, ра­венство (26) справедливо при всех / ен (О, Т].

Теорема 4. Если {%(«), 0 ^и<оо} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями, р<1 и О<0²<оо, то не­зависимо от распределения случайной величины т](0)

litnp(^ß(/^lg^(/) <х| = Ф(х), (28)

где Ф(х) — нормальная функция распределения с нулевым средним и единичной дисперсией.

Доказательство. Мы уже отмечали очевидное соотноше­ние

ß« = 4(0) + x(*)-Tl(*). (29)

По центральной предельной теореме

й^р{*7^<*}-^ф(х>- ⁽³⁰⁾

При р<1 из слабого закона больших чисел следует, что \imr\(t)lУt =0 по вероятности. В то же время очевидно, что

lim 4\(Q)IYt = 0 по вероятности для любой случайной величины

т](0). Тогда, если р<1, то ß(/) и %(t) имеют одинаковое асимпто­тическое распределение при /—>оо. Теорема доказана.

Замечание. Пусть предельное распределение существует и функция g(t) такова, что limg(t) — oo. Тогда с по-

Г-»оо

мощью соотношения (29) легко убедиться, что если р<1, то ß(/) и %(t) имеют одинаковое асимптотическое распределение при / —> оо.

Пусть, например, {%(«), 0^и< оо} —обобщенный пуассонов-ский процесс, для которого

v(u)

X(")=SXr, (32)

r = l

где {v (и), 0 ^и <оо} — пуассоновский процесс с интенсивностью Л, а %ь %2> • ••> Хг. ...—взаимно независимые и одинаково распре­деленные случайные величины. Пусть они не зависят от {v («)} и удовлетворяют условиям Е{%_г} = а, Р fo_r > х) = h (x)/x^a, где 1<а<2 и

,. h (ex) . lim , , / = 1 х-юо h(x)

для любого положительного числа с. Тогда

limP( ^t{!i~^çt Kx)=G_a{x) (33)

где G_a (x) — устойчивая функция распределения, определенная соотношением (31) § 28, p = Àa, а g(t) выбирается из условия Р for >£('»-!/'■

Теорема 5. Пусть {% (и), 0 ^ и < оо} — процесс с переставляе­мыми приращениями, а начальное время занятости прибора -л (0) равно с < 0. Тогда вероятность того, что длительность начального периода занятости не превышает t, равна

t

Р{е₀</|г!(0) = _С}= fjd_yP{x(y)<y-c\ (34)

с

при t^c. Если t<c, то Р{9₀</| ti(0) = c} = 0.

Доказательство. Согласно (4),

P{e₀<*|Ti(0) = c}= 1 _р{_ы-_х(_ы)<с для 0<и<*}, (35)

а вероятность в правой части можно получить из теоремы 1 § 17. Формула (34) доказана.

Пусть (х(ы), 0 <!ы<оо} — процесс со стационарными независи­мыми приращениями и Х = Ф(оо)<оо. Тогда (х(ы), 0<!м<оо} — обобщенный пуассоновский процесс, 9₀, 9_Ь 9₂, ... — взаимно не­зависимые случайные величины, причем 9^ 9₂, ... распределены одинаково. Если г| (0) — случайная величина с тем же распреде­лением, что и величина положительного скачка процесса {%(и), 0 <;«< оо}, то Р{9_Г <0 = Р {бо^О Для г = 1, 2, ..., таким образом,

t

P{e_r<0 = xJ*7^^p{0<xü/)<-^{w} (36)}

о при (>0и г=1, 2,

Теорема 6. Если {% (и), 0 s^x< oo} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями, то

Р{9₀<оо|т1(0) = с} = е-^ис, (37)

где со — наибольший вещественный корень уравнения

Ф(со) = со. (38)

Если O^p^l, то и = 0, а если р> 1, то со = 0. Доказательство. Очевидно, что

P{6o<°°|ti(0) = c}=1-P{ sup [и-х(и)]<с], (39)

0<и<°°

а вероятность в правой части можно получить из теоремы 3 § 17.

Теорема 7. Пусть {%(и), О^ы <оо} — процесс со стационар­ными независимыми приращениями, а начальное время занятости прибора г\ (0) равно с > 0. Тогда вероятность того, что максималь­ное время ожидания в начальном периоде занятости не превы­шает х, при х^с равна

Р{ sup _Л (и)< х | л (0) = с} = -^tef¹, (40)

где W (х) определяется из соотношения

оо

/•-«»м-Щг <⁴¹>

о

при Re(s)>(ù, a W{0) произвольно. Функция W {x) в явном виде задается формулами (12) или (14) § 16.

Доказательство. Положим 6 (с) = inf{«: %{и) — и ^ — с и 0^ы<оо} и 6(с) = оо, если %(и) — и> —с для всех и ^ 0. Если т](0) = с, то вероятность того, что максимальное время ожидания в начальном периоде занятости не превосходит х, равна

Р{%(и)<и + х-с для 0<ц<6(с)}= ^Wy[_x)^c) (42)

при х^-с. Функция W{x) определяется в теореме 1 § 16. Тео­рема доказана.

Примеры. (О Предположим, что в интервале времени (0, <х>) требования поступают в очередь согласно закону Пуассона с интенсивностью À. Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим работать в момент и = 0. Времена обслу­живания %_ь %2. •••> %п ••• являются взаимно независимыми и одинаково распределенными положительными случайными вели­чинами с функцией распределения Р {%_г ^ х] = H (x). Они не зави­сят от моментов прибытия требований. Прибор занят, если в системе есть по крайней мере одно требование.

Положим

оо

;|)(s)= | e~^sxdH{x) (43)

о при Re($)^0,

ОО

а= | xdH(x) (44)

о и

- оо

ol=\{x-afdH{x), (45)

о

если соответствующие интегралы сходятся.

Обозначим через %(и) сумму времени обслуживания всех требо­ваний, поступивших в интервале времени (0, и]. Тогда {%(«), О ^ и < оо} — стохастический процесс со стационарными независи­мыми приращениями. Это обобщенный пуассоновский процесс.

Далее,

оо

Р{%(и)<х} = %е-ь«^Н_п{х), (46)

где Н_п (х) обозначает n-кратную свертку функции H (х); Н₀ (х) — 1 при x^sO и Н₀(х) = 0 при л:<0. Кроме того,

Efe-sxwj^g-K'Dis) (47)

для Re(s)>0, где

Ф(«) = К [1-г|ф)], (48)

и р = Ф'( + 0) = Яа_> а² = — Ф" ( + О) = 1(а² + о²_а). Для нахождения распределений и асимптотических распределений величин f](t), a(t), ß(0, 6_r ('' = 0, 1, 2, . ..) можно применить теоремы этого параграфа.

В частности, при ка< 1 предельное распределение виртуаль­ного времени ожидания

limP{n(0<x}=P{ sup [%(u)-u]^x}=W(x) (49)

равно

Q (s) = J е-« rflF (*) = 4^W ⁽⁵⁰⁾

^{0 1_Л} ï

для Re(s)>0. Если Ка~^\, то W{x) = Q для всех х.

Формула Полячека — Хитина. Пусть в предыдущем примере требования обслуживаются в порядке поступления. Обозначим через г\_п, я=1, 2, ..., время ожидания я-го требования и поло­жим Г|₀ = п (0). В 1932 г. А. Я. Хинчин [42] доказал, что lim Pfn„ ^x}= W{x) при Àa<l, a преобразование Лапласа —

п->оо

Стильтьеса функции W(x) определяется по формуле (50). В 1930 г. Полячек [53] рассмотрел процесс образования очереди, в кото­ром п требований поступают в интервале (0, t) таким образом, что времена между их поступлениями являются взаимно незави­симыми и одинаково распределенными случайными величинами. Он нашел распределение времени ожидания случайно выбирае­мого требования в предположении, что требования обслуживаются единственным прибором в порядке поступления, а времена обслу­живания являются взаимно независимыми и одинаково распре­деленными случайными величинами с функцией распределения H {x) и не зависят от моментов поступления требований. Полячек обнаружил, что при Ка< 1 и я->-оо, t -> оо так, что n/t-+X, функ­ция распределения времени ожидания случайно выбранного требо­вания стремится к W(x). При этом W (х) имеет преобразование Лапласа — Стильтьеса (50).

Теперь покажем, что независимо от распределения случай­ной величины х\(0)

lim.P{îi_n<*}=P{ sup fo («)-«]<*}, (51)

и дадим, таким образом, новое доказательство результата Поля-чека — Хинчина. Интересно отметить, что формулу (50) также получил в 1930 г. Крамер [16] в связи с одной задачей страхо­вания.

Докажем равенство (51). Обозначим через-Т], т₂, ,.., х_г, —.. моменты поступления требований. Тогда т_г—т_г_, (г=\, 2, ..., то=0) будут взаимно независимыми и одинаково распределенными слу­чайными величинами с функцией распределения F(x) = 1 — е~^Кх, х~^0. Очевидно, что

sup [% (и)-и]= sup [% Ьг + 0) - т,] = sup (xi+ ... +%_r-x_r).

0<Ц<°о 0</-<oo 0</-<oo

(52) Покажем, что

lim P{ti„<*} = P{ sup (x,+ ...+Xr-tr)<x); (53)

отсюда и будет следовать равенство (51).

Случайные величины ti₀, ц_и ..., ti„, ... удовлетворяют рекур­рентному соотношению

i1«+i = h« + X«-(T_n-T_n_₁)]⁺ (54)

для п = 0, 1, 2, ..., откуда

ïl„₊₁ = max[0, Х«-(т_п-т„_,)> Xn-i+ Хп-(т_п-т„_₂), ...

..., %₂+ ... + х„ - (т„ - Ti), Xi + • • • + X* - (т„ - т₀) + "По]. (55)

Если в формуле (55) заменить %_п, /„_,, ..., Xi на Xi, Х2 %п

и (Тп-Тп-,), (т„ - т„_₂), ..., (т„ - т₀) на т,, т₂ т„ соответ­ ственно, то получится новая случайная величина с тем же рас­ пределением, что и (55). Поэтому

P{ïi_n+i<*} = P{max(0, %i~x_u Х1 + Х2-Т2, •••"^,

..., xi+ ••• +Xn-i-T„-i, Xi+ ••■ + Xn - т„ + ЛоХ *}• (56)

Если мы в (56) устремим п к оо, то получим (53) независимо от распределения величины ti₀. Доказательство закончено.

(И) Рассмотрим предыдущий пример, но теперь пусть требо­вания поступают на обслуживание в интервале времени (0, оо) по закону Пуассона с интенсивностью Я, партиями случайного объема. Предположим, что размеры партий являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными вели­чинами, не зависящими от моментов поступления. Обозначим через pf, /=1, 2, ..., вероятность того, что партия состоит из } требований, и положим

оо

P(z)-2p/z'. (57)

Если через %(и) обозначить сумму времен обслуживания требо­ваний, поступающих в интервале (0, и], то [%(и), 0<!«<оо} будет стохастическим процессом со стационарными независимыми при­ращениями. Это обобщенный пуассоновский процесс. При Re (s)^0

Е{е-⁵*<^и)} = е-^цф<*>, (58)

где

<D(s) = Ml-p(i|>(s))]. (59)

Кроме того,

оо

р = Ка 2 ÎPi (60)

и

o² = kol iiPj + ka^fp,. (61)

/-1 /-1

Зная распределение для %(и), 0^и<оо, можно с помощью теорем этого параграфа найти распределения и асимптотические распределения величин ti(/), <z(/), ß(/), 8_r (r = 0, 1, 2, ...).