Глава 5 теория очередей

§ 27. Очереди к одному обслуживающему прибору

Теория очередей начала развиваться в XX веке в связи с за­просами телефонии. Первые работы были сделаны Эрлангом [20 — 22], изучившим распределение времени задержки вызовов в телефонных переговорах. Значительный прогресс в математиче­ской теории очередей был достигнут в тридцатые годы благодаря работам Полячека [53, 54], А. Н. Колмогорова [45], А. Я. Хинчина [42, 43] и других. В настоящее время имеется огромное ко­личество литературы по теории очередей и ее применениям (см. Дойг [19], Саати [66], Вольд [90]). Применяется теория оче­редей в основном в технике (телефония, сети связи, электронные вычислительные машины), в промышленности (обслуживающие автоматы, конвейеры, склады), на транспорте (аэропорты, гавани, железнодорожные и автобусные станции, уличное движение, почта), в торговле (рынки, сбыта, банки, билетные кассы), а также в повседневной жизни (лифты, рестораны, парикмахерские).

Мы будем пользоваться терминами: система обслуживания, требования, обслуживающие приборы, время обслуживания. На этом языке можно описать любой мыслимый процесс. Напри­мер, в телефонии термины телефонная станция, вызовы, линии, время занятости соответствуют системе обслуживания, требова­ниям, обслуживающим приборам, времени обслуживания.

Механизм образования очереди очень прост. Требования по­ступают в очередь и обслуживаются одним или более приборами. После обслуживания каждое требование выходит из системы. Время, проведенное требованием в системе, состоит из времени ожидания (возможно, равного нулю) и времени обслуживания. Время прибора складывается из чередующихся между собой пе­риодов занятости и периодов, свободных от требований.

Наиболее важные задачи в теории очередей связаны со слу­чайными флуктуациями длины очереди (линии ожидания) и слу­чайными флуктуациями времени ожидания (задержки). Знание стохастических законов, управляющих этими флуктуациями, дает возможность проектировать требуемые системы обслуживания (достаточно большое помещение для ожидания, достаточное число приборов и т. д.).

В этой главе мы будем рассматривать следующую математи­ческую модель обслуживания: в интервале времени [0, ∞) требо­вания прибывают на обслуживание в соответствии с некоторым случайным процессом. Прибывшие требования обслуживаются одним обслуживающим прибором, причем времена обслуживания являются случайными величинами. Порядок обслуживания не за­дается, но предполагается, что обслуживающий прибор занят, если в системе есть хотя бы одно требование.

Мы изучим задачи, связанные с флуктуациями длины очереди и флуктуациями времени ожидания.

Длина очереди в момент t обозначается через ξ(t) и опреде­ляется как число требований в системе в момент t, включая обслуживаемое, если таковое имеется. Будем обозначать через ᶓ_п длину очереди непосредственно перед поступлением n-го требова­ния, а через t,_n— длину очереди непосредственно после окончания обслуживания n-го требования.

Время ожидания в момент t обозначается через η(t) и опреде­ляется как время, необходимое для завершения обслуживания всех требований, имеющихся в системе к моменту t. Если, в част­ности, обслуживание производится в порядке поступления, то η(t) является временем ожидания требования, поступившего в систему в момент t. При этом η(t) можно интерпретировать как вир­туальное время ожидания в момент t, определяемое для всех t ≥ 0. Если требование поступает в момент t, то его действитель­ное время ожидания равно η(t — 0). Виртуальному времени ожи­дания можно придавать реальный физический смысл. Например, если рассматривать поступление телеграфных сообщений, то вир­туальное время ожидания равно длине ленты непрочитанной части телеграфного сообщения к моменту t. Можно даже представить себе, что используется стрелка с часовым механизмом, отсчиты­вающая время, и в момент поступления требования мы передви­гаем стрелку вперед на длину, равную времени, необходимому для его обслуживания. Так как такие часы идут только до тех пор, пока в системе есть требования, они в любой момент пока­зывают виртуальное время ожидания. Таким образом, на этих часах прибывающий клиент может немедленно увидеть свое дей­ствительное время ожидания. Вообще η(t) можно интерпретиро­вать как время занятости (полной загрузки) прибора в момент t. Через η_п мы будем обозначать время ожидания непосредственно перед поступлением η-го требования. Если обслуживание произ­водится в порядке поступления, то ц_п есть истинное время ожи­дания η-го поступившего требования.

Процесс обслуживания можно охарактеризовать с двух раз­личных точек зрения в соответствии с тем, интересуемся ли мы флуктуациями длины очереди или флуктуациями времени ожидания.

Процесс Q. Предположим, что обслуживающий прибор начи­нает работу в момент времени t= 0 и к этому моменту ζ₀ тре­бований уже ожидают обслуживания. Начальная длина очереди ζ₀ является случайной величиной, принимающей неотрицательные целые значения. Пусть v_b v₂, ..., v_r, ...—числа требований, вставших в очередь во время обслуживания первого, второго, . . ., r-го, ...требований, и пусть N_o = 0, N_r = 4i + ... +\_г для г =

= 1, 2 В этом случае будет рассматриваться процесс типа

Q = {ζo; N_n r = 0, 1, 2, ...}.

Нас будут интересовать распределения следующих случайных ве­личин:

ᶓ_n (n=1, 2, ...), длины очереди непосредственно перед по­ступлением n-го требования;

ζ_n (n=1, 2, ...), длины очереди непосредственно после окон­чания обслуживания n-го требования; ζ₀ — начальная длина оче­реди;

p_n (n = 0, 1, 2, ...), числа требований, обслуженных в и-й период занятости;

a_n числа нулей среди ζ₀,ζ₁..., ζ_n_₁

ß_n числа положительных членов среди ζ₀,ζ₁..., ζ_n_₁ . Оче­видно, что а_n + ß_n= п.

Случайные величины а_п и ß_n можно также интерпретировать как число обслуживании среди первых п обслуживании, которым предшествует период бездействия прибора, и число обслуживании среди первых п обслуживании, которым не предшествует период бездействия прибора. При ζ₀ = i среди первых п поступающих требований число требований, для которых в момент их посту­пления обслуживающий прибор занят, равно ß_n+1-j.

Все эти случайные величины полностью определяются зада­нием

ζ₀ и N_r r= 0, 1 ,2, ....

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что ζ₀ и N_r, r = 0, 1, 2, . . ., независимы. Случайные величины v₁ v₂, .. ., v_r, ... будут либо переставляемыми случайными величинами, принимаю­щими неотрицательные целые значения, либо, в частности, взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величи­нами, принимающими неотрицательные целые значения.

Процесс W. Пусть обслуживающий прибор начинает работу в момент времени u = 0 и в этот момент его начальное время занятости определяется неотрицательной случайной величиной η (0). Обозначим через X(u) полное (накопленное) время обслуживания всех требований, прибывших в интервале времени [0, и]. В этом случае рассматриваемый процесс будет процессом образования очереди — процессом типа

w = η(0); x(a), 0<u<∞}.

Нас будут интересовать распределения следующих случайных величин:

η(t), времени ожидания в момент t;

θ_r(r = 0, 1,2, ...), длины r-го периода занятости;

a(t), полного (накопленного) времени бездействия обслужи­вающего прибора в интервале (0, t);

ß(t), полного (накопленного) времени занятости обслуживаю­щего прибора в интервале (0, t). Очевидно, что а (t) + ß (t) = t.

Все эти случайные величины полностью определяются заданием

η(0) и {х(u), 0≥u<∞}.

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что случайная величина η(0) и случайный процесс {x(u), 0≤u< ∞} независимы. Случайный процесс {x(u), 0≤u<∞} будет иметь либо переста­вляемые, либо стационарные независимые приращения. Почти все его выборочные функции будут неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в нуль при и = 0.