Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Glava_5_TEORIYa_OChEREDEJ.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
24.09.2019
Размер:
306.18 Кб
Скачать

Процесс q*

Рассмотрим процесс Q* = {£0; N*, г = 0, 1, 2, ...}, введенный в § 27. Предполагается, что Af* = v*+ ... +v* для г=1, 2, ..., где {v*}—двойственная последовательность для {vr}, a {v,} —либо переставляемые случайные величины, принимающие неотрицатель­ные целые значения, либо, в частности, взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые значения. Положим Nr = Vi+ ... +vr для г=1, 2, ....

Мы хотим найти распределения величин g*, £*, a*, ß*, p* для любого га. Эти случайные величины полностью определяются про­цессом Q*, или, что то же самое, процессом Q. В § 27 были получены распределения случайных величин £„, £„, а„, ß„, p„ для процесса Q. Сейчас мы сведем задачу нахождения распреде­лений величин а*, ß* и р* к нахождению распределения случайной величины £„.

Вероятность Р [ß* <&} = Р п>п — k} для 0</г<л опреде­ляется следующей теоремой.

Теорема 8. Если {vr} переставляемые случайные величины, то

P{Vn<k + i\Z0 = i) = P{Nk^n-\} +

+ 2S(l-//(*-/))P{tf/ = / + n-*-l, Nk-N, = I}, (47)

/=-u=o

eâe 0< /г О — i и 0<k<n. Если k = n — 1, го формула (47) при­нимает би<9

р {ß; < « -1 + /1 с0=t] = 2 (1 - //(« - О) p Wn-i = /}. (48)

Доказательство. Если k ^.n — i, то в силу (4)

p{ß;<* + /|£0 = /} =

= Р [N*r^r — n + k для некоторого г = 0, 1, ..., га—l}. (49) Следовательно, если k^n— 1, то в силу (2) § 9

p[ß;<* + /u0 = /} =

= Р {Nr :> г — п k — 1 для некоторого г = 1, 2, ..., /г} =

= \-P{Nr-r<n~k-\ для г = 1, 2 /г}, (50)

а правая часть задается формулой (1) § 6. Равенство (47) дока­зано. Если, в частности, в (50) knl, то с учетом формулы (4) § 6 получаем (48). Здесь / = 0 или /=1. Отметим также интересное равенство

p{ß;<£ + /]S0 = ;} = i-p{Sft<rt-£-i|?0 = o}, (si)

вытекающее из (14) и (50).

Теорема 9. Если {vr}~ взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, E{vr} = v>l и Var{vr}=a2< oo, то независимо от распределения случайной величины £0

Птр{^Ц^о} = Ф(*). (52)

n->°o ( y па23 J

Доказательство. Имеем

ß;=s0+^;-c (53)

где £* определяется по формуле (1), в которой Nr надо заменить на N*. В силу (2) § 9

P{N*n<k} = P{Nk^n} (54)

для n + k>0. Теперь, используя (29), легко доказать, что

С дг* _ n/v 1

limP /_^_<* =Ф(х). (55)

Так как lim NJn = у по вероятности, то

lim^f = - (56)

по вероятности. При у>1 отсюда следует, что

lim -г?- = 0 п-»°о га'2

по вероятности. Очевидно, что

£о

lim-^ = 0

п-»оо га'2

по вероятности. В соответствии с этим, если у>1> то при п->оо случайная величина ß* имеет то же асимптотическое распределе-

*

ние, что и Nn. Доказательство закончено.

Замечание. Если Р {\г > х} = h (х)/ха, где 1 < а < 2 и lim h (cx)/h (x) = 1 для любого положительного числа с и gn таково,

что P{vr>g„}~ 1/га, то

\ N.-nly \

limP " <x\=Ga{x), (57)

где Ga(x) —устойчивая функция распределения, определенная соотношением (31). С помощью формулы (54) можно доказать, что

I N*-n/\ 1

Hm Р ; <1+a)/a <* = 1 - Ga(- *) (58)

и, если Y>1, то ß^ при га->оо имеет такое же асимптотическое распределение, что и N*n.

Теорема 10. Если vb v2, ..., v„ — взаимно независимые слу­чайные величины, то

Р {р0 < га + k | С0 = £} = Р {Nn > « + k - 1} +

оля re^O w k~^\. Если k=\, то (59) принимает вид

n

P {pS<«I£o= 4 = l "St1 -i")p W» = Я- (6°)

Доказательство. В силу (6)

= Р{Л^*^г — й для некоторого г = 0, 1, ..., п + к — 1}. (61) Отсюда и из (2) § 9 получаем, что при k ^ 1

p{9;<n + k\ç0 = k} =

= Р{M,^r + k— I для некоторого г = 1, 2, . .., га} =

= 1 - P {Nr - г < k - 1 для г = 1, 2, .. ., га}, (62)

а правая часть находится по формуле (1) § 6 для k~^\ и по фор­муле (4) § 6 для k= 1. В силу (7)

P{pS<« + *|C0 = *} = P{ß;+*<nl£o = 0}, (63)

а правую часть можно, получить из формулы (47).

Отметим еще интересное равенство

P{pJ<n + *lC0 = *} = l-P_{C„<*lC0 = 0}, (64)

вытекающее из (1) и (62).

Теорема 11. Если {vr} — взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, то для k^l

p{pS<°°ISo = *} = 1-Q*-i. (65)

где Qk, k = О, 1, 2, ..., определяется в теореме 2. Доказательство. Согласно (62),

P{P;<oo|£0 = è} = l-P{ sup (Nr-r)<k-\), (66)

а правую часть можно получить из теорем 3 и 4 § 6. Если Я]^=1 и y s^ 1> то Qft = 0 Для любого е. Если V < 1. то Qk > О ПРИ & ^ 0.

Пример. Предположим, что в интервале времени (0, с») тре­бования поступают в очередь в моменты х[, х'2, ..., х'г, ..., где т/ —т/_р r=l, 2, ..., являются взаимно независимыми и одина­ково распределенными положительными случайными величинами с функцией распределения F(x), a x'Q = 0. Требования обслужи­ваются единственным прибором, начинающим работать в момент и = 0. Пусть времена обслуживания будут взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функ­цией распределения Н(х)= 1 —e~»x (х^О), и пусть они не зависят от моментов прибытия требований. Обозначим через £0 начальную длину очереди. Этот процесс Q' образования очереди — обратный для процесса Q, определенного следующим образом.

В интервале (0, с») требования поступают в очередь согласно закону Пуассона с интенсивностью ц. Требования обслуживает единственный прибор, начинающий работать в момент и = 0. Времена обслуживания являются взаимно независимыми и оди­наково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x). Они не зависят от моментов прибытия тре­бований. Начальная длина очереди равна £0. Иначе говоря, Q'— обратный процесс для Q = {£0; NT, г = 0, 1, 2, ...}, где vu v2, . . ., vr, ... —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с распределением

°° P{vr = J}=je-»*-tef-dF(x) (/ = 0,1,2,...). (67)

о

Распределение для Nr = v1 + ... + vr = 0, 1, 2, ..., равно

P{Nr = j}=je-»*-tef-dFr{x) (/ = 0,1,2,...), (68)

о

где FT(x) есть r-кратная свертка функции F(x); F0(x) = 1 при х^О и Fo(x) = 0 при х<0.

Для обратного процесса Q' обозначения \'п, t,'n, a'n, ß^, р^ имеют тот же смысл, что и \п, £„, ап, ß„, prt для процесса Q. Пусть Q*— двойственный процесс для Q. Мы будем обозначать через |^, С> %' ß«> Р« соответствующие случайные величины для Q*. Легко видеть, что а'п = ап, ß^ = ß* и р^ = р*. В этом параграфе определены распределения случайных величин ап, ß* и р^. Для того чтобы можно было применить общие теоремы, введем следующие обо­значения:

Ф(*)= j

для Re(s)>0,

e~sxdF{x) (69)

о

b=jxdF{x) (70)

о

сю

а2й = j(x-b)2dF(x), (71)

если соответствующие интегралы сходятся.

Достаточно найти распределения величин \'п и £,'п. Согласно (3),

P{S;+,<*lSo = '} = P{^+*+.<*ISo = ''b (72)

откуда следует, что можно ограничиться нахождением распреде­ления величины \'п для п=\, 2, .... В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением \'0 = %0—\. Найдем распределение слу­чайной величины 1'п.

Теорема 12.

p&<*IêS = /} =

п

= P{^>n + i-A}-SjP{^ = /-*}P{iV„./>n + i-/)I (73)

если k — 1, 2, ... и / = О, 1, .... ß частности,

п

P{rn<k\l'0 = 0} = ^P{N,^j-k} (74)

для &=1, 2, Распределение случайной величины Nr, r = 0, 1,2, ...,

определяется по формуле (68).

Доказательство. Легко видеть, что

MC+1-^f (75)

при и = 1, 2, . .., откуда Ц = max {(« - г) - (Nn - NT) для г = 0, 1, ..., п и E0' + «-/V„}. (76)

Если в (76) заменить vb v2, ..., v„ на v„, v„_1( ..., V! соответ­ственно, то получится новая случайная величина

1'п = max {г - Nr для г = О, 1, . . ., л и |0' + n-tf„] (77)

с таким же распределением, что и (76). Тогда

P{t'n<k\t'0 = i} =

= P{r-Nr<k для г = 0, 1 o«-Jlf„<H, (78)

а правую часть можно получить из (3) § 8. Доказательство закон­чено, ибо в случае i — 0 (78) получается из (1) § 8.

Теорема 13. Если k~^\, то независимо от распределения случайной величины |„

limP{|;<Ä} = l-oft, (79)

га->оо

где б—наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения

cp(n(l-ô)) = ô. (80)

Если \ib ^ 1, то ô = 1, а если \ib> 1, то ô < 1.

Д о к а з а те л ь ст в о. Из формулы (78) вытекает, что незави­симо от распределения случайной величины %'0

UmP{l'n<k} = P{ sup (r-Nr)<k), (81)

а правую часть находим из теоремы 3 § 8.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]