7. Интегральная сумма.

     2) В каждом частичном промежутке [x_k, x_k+1] выберем по точке ξ_k и вычислим f(ξ_k).

     3) Умножим f(ξ_k) на длину (x_k+1 - x_k) соответствующего промежутка [x_k, x_k+1].

     4) Сложим все найденные произведения. Сумму

будем называть интегральной суммой.

     5) Будем изменять произведённое дробление [a, b] так, чтобы величина λ стремилась к нулю.

     Если при этом существует конечный предел

     (4)

не зависящий от выбора точек ξ_k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается через

     Точный смысл соотношения (4) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что при любом способе дробления, у которогоλ < δ, будет

| σ - I | < ε,

как бы при этом ни были выбраны точки  .

     Предельное соотношение (4) имеет довольно своеобразный характер.

     Отдадим себе отчет в том, для каких функций введенное понятие оказывается достаточно естественным.

     Если у функции f(x) существует интеграл (в этом случае говорят, что f(x) интегрируема), то это означает, что суммы σ, отвечающие дроблениям с достаточно малым λ, будут близки к некоторому постоянному числу, как бы ни выбирать точкиξ_k. Поэтому, меняя точки ξ_k, не будем существенно изменять величины суммы σ. Но это возможно лишь за счет того, что изменение точек ξ_k не вызывает заметного изменения чисел f(ξ_k) (по крайней мере в большинстве слагаемых суммы σ). Для функций непрерывных указанное обстоятельство и в самом деле имеет место, т. к. точки ξ_k могут изменяться лишь в коротких промежутках [x_k, x_k+1], а у непрерывных функций близким значениям аргумента отвечают близкие же значения функции. Поэтому естественно ожидать, что у непрерывной функции определенный интеграл существует. Если же функция f(x) разрывна, то, вообще говоря, нет оснований ожидать у нее существования интеграла. Изложенные соображения подтверждаются следующей теоремой:

7. Пусть на отрезке   определена вещественнозначная функция  . Рассмотрим разбиение отрезка   — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок  на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков  , называется шагом разбиения, где   — длина отрезка. Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  . Интегральной суммой называется выражение  . Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора  , то это число называется интеграломфункции   на отрезке  , т.е.  . В этом случае, сама функция   называется интегрируемой (по Риману) на  ; в противном случае   является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке  .

8. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы  .    Это условие означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство |S - s| < ε. Так как s ≤ S, то последнее неравенство равносильно неравенству S - s < ε.

9. Первая теорема о среднем

10. Вторая теорема о среднем

11. Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

12. Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

7. В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

7. ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

7. Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае —неспрямляемая. ВЫЧИСЛЕНИЕ!!!

8. Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

9. Несобственный интеграл   сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε > 0 можно найти такое число В > a, что для любых чиселb₁ и b₂, удовлетворяющих условию B < b₁ < b₂ < ω, выполняется неравенство

Ряд   называют абсолютно сходящимся числовым рядом, если сходится ряд  . Ряд называют сходящимся условно, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

7. При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла   необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при   удовлетворяют неравенствам  . Тогда:  если сходится интеграл  , то сходится интеграл  ;  если расходится интеграл  , то расходится интеграл    (эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя). 

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла. Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции   и   определены на промежутке  . Тогда несобственный интеграл   сходится, если выполнены следующие условия: 1. Функция   интегрируема на  2. Функция   ограничена и монотонна. Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции   и   определены на промежутке  . Тогда несобственный интеграл   сходится если выполнены следующие условия: 1. Функция   интегрируема на   т.е. сходится интеграл  2. Функция   ограничена и монотонна на  .

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда). Частной суммой числового ряда   называется сумма  . Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел  , при этом   называется суммой ряда.

Пусть даны два положительных ряда Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для n>N), выполняется неравенство: а_n  b_n, то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Числовой ряд   сходится тогда и только тогда, когда для любого   существует такое  , что для всех 

Теорема Лейбница для знакопеременных рядов

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2. 

7. Признак Абеля дает достаточные условия условной сходимости числового ряда. Числовой ряд   сходится, если выполнены следующие условия: 1. Последовательность   монотонна и ограничена. 2. Числовой ряд   сходится.