Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Giperbola

.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
104.75 Кб
Скачать

I ЗАДАНИЕ.

Построить данную гиперболу и найти: 1) координаты фокусов F1 , F2 ; 2) эксцентриситет ε ;

3) параметр p ; 4) уравнения директрис d1 , d 2 ; 5) уравнения асимптот a1 , a2 ; 6) координаты точки M , принадлежащей гиперболе и удовлетворяющей условию MF1 MF2 , если:

 

 

 

 

x 2

 

 

 

y 2

= 1

1).

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

21). x 2

 

y 2

 

 

= −1

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

16

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2).

 

 

 

x 2

 

y 2

= 1

2).

x 2

 

y 2

 

 

= −1

22).

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

9

 

 

 

 

9

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

24

 

 

3).

 

x 2

 

y 2

 

 

= −1

3).

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

23).

x 2

 

y 2

 

 

= −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

12

 

 

16

 

 

 

 

9

 

 

 

 

4).

 

 

 

x 2

 

y 2

= 1

4).

 

 

x 2

 

y 2

= 1

24).

 

x 2

 

y 2

 

= 1

25

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

25

 

 

5).

 

x 2

y 2

 

 

= −1

5).

 

 

x 2

 

y 2

= 8

25).

x 2

 

y 2

 

 

= −1

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

16

 

 

 

 

6).

 

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

 

 

 

x 2

 

 

y 2

 

= 1

26).

 

x 2

 

y 2

 

= 1

 

 

 

 

 

 

6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7).

 

x 2

 

y 2

 

 

= −1

7).

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

27).

x 2

 

y 2

= 1

 

 

9

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

16

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8).

 

x 2

 

y 2

 

= 1

8). x 2

y 2

 

= −1

 

 

 

x 2

 

 

y 2

 

= 1

 

 

4

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

28).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

9).

 

 

 

x 2

 

y 2

= 1

9).

 

 

x 2

 

y 2

 

= 1

29).

x 2

 

y 2

 

= 1

 

4

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

9

 

 

 

 

16

 

 

10). x 2

 

y 2

= 4

10).

x 2

 

y 2

 

 

= −1

30). x 2

y 2 = −4

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I ЗАДАНИЕ

Составить уравнение гиперболы, если φ — угол между асимптотами и, известно, что

1). a = 8 ; tg φ =

3

 

 

11). F F = 8; ρ(d

 

;d

 

) = 6

21). ρ (d

 

;d

 

)

=

32

;ε =

5

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

4

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2).

c = 2

 

; φ = 60°

12). a = 5; ρ(F1 ;d1 ) = 24

22). a = 24 ; ε =

13

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

ρ (d1 ;d 2 ) =

32

;ε =

5

13). d 1

: x = m3

 

; φ = 90°

23). d 1 : y = m2;φ = 90°

3).

2

 

 

 

5

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4).

a = 24 ; ε =

13

 

14). a = 8 ;

tg φ =

3

 

 

 

24). a = 4; F F

 

= 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5). a 1

: y = m2 x ; F1 F2 = 10

15). c = 2

 

 

; φ = 60°

25). d 1

: x = m3

 

; φ = 90°

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6). a = 4 ; F F

= 10

16). ρ (d

 

;d

 

)

=

32

;ε =

5

 

26). F F

= 8; ρ(d

 

 

;d

 

 

) = 6

1

2

 

 

1

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7). d 1

 

: y = m2;φ = 90°

17). a = 24 ; ε =

13

 

27). a = 5; ρ(F ;d

 

) = 24

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8). F F

 

= 8; ρ(d

 

 

;d

 

) = 6

18). a 1 : y = m2 x ; F1 F2 = 10

28). a = 8 ; tg φ =

3

 

2

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9). a = 5; ρ (F1 ;d1 ) = 24

19). a = 4; F1 F2

= 10

 

 

29). c = 2

 

; φ = 60°

 

 

3

10). d 1

: x = m3

 

; φ = 90°

20). d 1 : y = m2;φ = 90°

 

= 8; ρ(d

 

 

 

 

 

) = 6

2

30). F F

1

;d

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I I ЗАДАНИЕ

1). Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 . 2). Точка M лежит на гиперболе. Доказать, что произведение расстояний от этой точки до асимптот есть величина постоянная.

3). Найти эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами равен 60° .

4). M — точка пересечения асимптоты и директрисы. Доказать, что расстояние от центра гиперболы до точки M равно действительной полуоси.

5). M — точка пересечения асимптоты a1 и

директрисы d1 . Доказать, что MF1 a1 .

6). Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой F1 F2 = 2ρ(d1 ;d 2 ).

7). Найти эксцентриситет равносторонней гиперболы.

8). Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен

23 .

3

9). Найти эксцентриситет гиперболы, у

которой F1F2 = 3ρ(d1;d2 ).

10). Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до асимптоты равно ее мнимой полуоси.

11). Доказать, что длина отрезка асимптоты гипер-болы, заключенного между ее

16). Найти эксцентриситет равносторонней гиперболы.

17). Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен

23 .

3

18). Найти эксцентриситет гиперболы, у

которой F1F2 = 3ρ(d1;d2 ).

19). Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до асимптоты равно ее мнимой полуоси.

20). Доказать, что длина отрезка асимптоты гипер-болы, заключенного между ее директрисами, равна действительной оси. 21). Точка M лежит на гиперболе. Доказать, что произведение расстояний от этой точки до асимптот есть величина постоянная.

22). Найти эксцентриситет гиперболы, если ее

директрисы делят расстояние между фокусами на три равные части.

23). Найти эксцентриситет гиперболы, угол между асимптотами равен 120° .

24). Найти эксцентриситет гиперболы, у

которой F1F2 = 4ρ(d1; d2 )

25). Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 .

26). M — точка пересечения асимптоты a1 и

директрисы d1 . Доказать, что MF1 a1 .

директрисами, равна действительной оси.

12). Доказать, что основание перпендикуляра, опу-щенного из фокуса гиперболы на ее асимптоту, лежит на директрисе, соответствующей этому фокусу.

13). Найти эксцентриситет гиперболы, если ее

директрисы делят расстояние между фокусами на три равные части.

14). Найти эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами равен 120° .

15). Найти эксцентриситет гиперболы, у которой F1F2 = 4 ρ(d1; d2 )

27). Найти эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами равен 60°.

28). M — точка пересечения асимптоты и директрисы. Доказать, что расстояние от центра гиперболы до точки M равно действительной полуоси.

29). M — точка пересечения асимптоты a1 и

директрисы d1 . Доказать, что MF1 a1 . 30). Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой F1 F2 = 2ρ(d1 ;d 2 ).

I V ЗАДАНИЕ

Через вершину A , данной гиперболы,

проведена произвольная прямая,

пересекающая вторично гиперболу в точке

Aи асимптоты в точках B и C .

Доказать, что AB = AC .

1). 2 x 2 y 2 = 2

3). 4 x 2 y 2 = 4

5). x 2 y 2 = 4

7). x 2 y 2 = 16

9). 2 x 2 4 y 2 = 8

11). x 2 y 2 = 1

13). x 2 2 y 2 = −2

15). x 2 4 y 2 = −4

17). x 2 y 2 = −4

19). x 2 y 2 = −1

21). x 2 y 2 = −16

23). 4 x 2 2 y 2 = −8

25). 2 x 2 y 2 = −2

Через произвольную точку M , лежащую на данной гиперболе, проведены прямые,

параллельные ее асимптотам. Доказать,

что площадь параллелограмма,

образованного этими прямыми и асимптотами гиперболы, не зависят от выбора точки M .

2). 2 x 2 y 2 = 2

4). 4 x 2 y 2 = 4

6). x 2 y 2 = 4

8). x 2 y 2 = 16

10). 2 x 2 4 y 2 = 8

12). x 2 y 2 = −1

14). x 2 2 y 2 = −2

16). x 2 4 y 2 = −4

18). x 2 y 2 = −4

20). x 2 y 2 = −1

22). x 2 y 2 = −16

24). 4 x 2 2 y 2 = −8

26). 2 x 2 y 2 = −2

27). 2 x 2 - y 2

= 8

28). 2 x 2 - y 2

= 8

29). x 2 - y 2

= 4

30). x 2 - y 2

= 4

 

 

 

 

V ЗАДАНИЕ

1). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

2). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 4 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

3). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - 3 y 2 = 3 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

4). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - 3 y 2 = 3 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

5). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

6). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

7). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

8). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

9). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -1 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

10). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

11). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -2 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

12). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -4 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

13). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -2 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

14). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -4 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

15). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -2 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

16). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -1 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

17). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

18). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 4 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

19). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - 3 y 2 = 3 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

20). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 4 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

21). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

22). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

23). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

24). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

25). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

26). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 1 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

27). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -2 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что MA2 = MB 2 = MF1 × MF2 .

28). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = -4 , проведена касательная, которая пересекает асимптоты в точках A и B . Доказать, что площадь треугольника AOB ( O — центр гиперболы) не зависит от выбора точки M .

29). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 2 , проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами, делится точкой M пополам.

30). В точке M , принадлежащей гиперболе x 2 - y 2 = 4 , проведена касательная. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до данной касательной есть величина постоянная.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]