1. Функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

2. Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством.

3. Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощностьмножества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

4. а) В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество   является счётным, если существует биекция   , где   обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощноемножеству натуральных чисел.

Простые числа

Натуральные числа

Целые числа

Рациональные числа

б)

Вещественные числа

Комплексные числа

Числа Кэли

5. Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наименьший элемент  , который равен или больше всех элементов множества  . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается  .

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наибольший элемент  , который равен или меньше всех элементов множества  . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается  .

6. Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка  , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то   — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

7. Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

8. Критерий Вейерштрасса сходимости числовой последовательности:

Если для ряда 

составленного из действительных или комплексных функций, определенных на нек-ром множестве Е, существует числовой сходящийся ряд 

такой, что

то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве Е

7. e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число eназывают числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

8. Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства   можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности ( ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.

9. Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространстватакая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное

10. Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных пределов последовательности.

7. см.тетрадь за 1ый семестр

8. Преде́л фу́нкции  (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

9. 

7. Первый:

Второй:

7. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции. Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если   — значение функции   в точке  , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с  . На языке окрестностей условие разрывности функции   в точке  получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки   области значений функции  , что как бы мы близко не подходили к точке   области определения функции  , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки  .