1. Теплопроводность цилиндрической стенки.

Внешняя и внутренняя поверхности прямой цилинд­рической трубы поддерживаются при постоянных тем­пературах t'с, и tcт. Изотермические поверхности будут цилиндрическими поверхностями, имеющими общую ось с трубой. Температура будет меняться толь­ко в направлении радиуса, благодаря этому и поток тепла будет тоже радиальным. Труба имеет бесконеч­ную длину. Температурное поле в этом случае будет одномерным: t = f(r), где r- текущая цилиндриче­ская координата.

В случае неравномерного распределения темпе­ратур на поверхностях трубы температурное поле не будет одномерным, и последнее уравнение не будет действительным.

На рисунке изображена труба, а которой тепловой лоток направлен по радиальным направлениям. Возьмем участок трубы длиной /. Поверхность F на расстоянии r от оси будет равна 2лг1. Температура внутренней поверхности равна t_ст наружной - t'_c',-Через поверхности проходит один и тот же тепловой поток.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. Тогда можно принять поверхности, через которые проходит тепловой поток, одинаковы­ми и рассматривать этот элементарный слой как плос­кую стенку. Разность температур между поверхностя­ми будет также бесконечно малой и равной df.

По закону Фурье: или для кольцевого слоя

Разделяя переменные, получаем:

Интегрируя это уравнение в пределах от t_ср, до t_ср и от r₁ до r₂ и при λ = const, получаем

Как видно из уравнения, распределение темпера­тур в стенке цилиндрической трубы представляет со­бой логарифмическую кривую. Тепловой поток, про­ходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями и зависит от отно­шения наружного диаметра к внутреннему.

Тепловой поток может быть отнесен к единице дли­ны трубы и к 1 м² внутренней или внешней поверхно­сти. Тогда расчетные формулы принимают вид:

Рис. 61. Труба, в которой тепловой поток направлен по радиальным направлениям

БИЛЕТ – 14

1 Основной закон теплопроводности (закон фурье).

Основной закон теплопроводности (закон Фурье) устанавливает количественную взаимосвязь между тепловым по­током, вызванным теплопроводностью, и температурными неод-нородностями в среде. Для его формулировки выделим в среде изотермические поверхности со значениями температуры. Возьмем на изотермической поверхно­сти некоторую точку Р. Проведем из точки Р нормаль п к изо­термической поверхности. Под градиентом температуры пони­мают вектор, в направлении нормали к изотермической поверх­ности в сторону увеличения температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению:

где 1гс — единичный вектор, направленный по нормали п в сторону возраста­ния температуры.

Согласно основному закону теплопроводности плотность теп­лового потока прямо пропорциональна градиенту температуры:

где λ — коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью, Вт/См-К).

Скалярная запись уравнения (8.2) имеет вид

Знак минус в уравнениях (8.2) и (8.3) отражает разнона-правленность векторов grad t и q: вектор grad t по определению направлен в сторону возрастания температуры, а вектор q—• в сторону ее убывания.

Выразим из (8.3) теплопроводность

Анализируя (8.4), можно установить физический смысл теп­лопроводности %: теплопроводность — это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу изотермической поверхности при градиенте температуры, равном единице.

БИЛЕТ – 15