Процедура соим

Вычисление синдрома.Для входного словаW=(i₁,s₁)...(i_l,s_l), пустьV_ll– матрица Вандермонда (см., например, [Кн, стр.474]), определенная какV_j,k=(i_k)^j. Пусть=s₁...s_l. СиндромWестьl-(d+1) наибольших правых элементовl-размерного вектора произведения^V^-1. Таким образом, на этом шаге вычисляется синдромW.

Вычисление вектора погрешности.Вектор погрешности – этоl-размерный вектор=e₁...e_l, гдеe_j– «смещениеs_jот правильного значения». А именно, предположим, чтоW- (d,r)-интерполируем и пустьP(^) - (d,r)-интерполируемый полиномW. Тогдаe_j=P(i_j)-s_jалгоритм для каждого элемента (i_j,s_j)W. Вектор погрешности уникален, так как интерполируемый полиномP(^) – уникален. (Отметим, что вектор погрешности может быть вычислен только на основании синдрома. Если входное словоW- не является (d,r)-интерполируемым, тогда вычисленный вектор погрешности может быть ошибочным).

Вычисление выходного полинома.Выбрать 2t+1 корректных элементов изW(а именно, элементы (i_j,a_j) такие, чтоe_j=0) для использования их, чтобы интерполироватьP(^). (Этот шаг не будет выполнен).

Важно отметить, что синдром может быть представлен как функция только от вектора погрешности и, таким образом, он не содержит никакой информации относительно (d,r)-интерполируемого полиномаP(^). А именно, пусть(в отн.) - вектор коэффициентов полиномаP(^) (в отн.Q(^)) длиныl. (ПолиномQ(^) - полином, удовлетворяющийQ(i)=aдля каждой пары (i,a)W). Тогда=^V^-1=(^V+)^V^-1=+^V^-1.

Последние l-(d+1) элементов изявляется нулевыми. Так какl-(d+1)<il, мы имеемQ_i=[^V]_i. Следовательно, последниеl-(d+1) элементов из(т.е. синдром) являются линейной комбинациейи, таким образом, процессоры могут совместно вычислять синдром. То есть для данного согласованного множестваG, каждый элемент синдромаS_Gвычисляется следующим образом. Каждый процессор вычисляет соответствующую линейную комбинацию долей и вызывает субпротоколАВсПрс результатом этой линейной комбинации как входом. Как только все эти субпротоколы завершаться, каждый процессор будет иметь полный синдромS_G.

Как только синдром вычислен, каждый процессор использует алгоритм Берлекампа-Месси, чтобы локально вычислить вектор погрешности. Если на итерации rявляется (2t,r)-интерполируем, тогда вычисленный вектор погрешности является «истинным» вектором погрешности множества, однако, еслине является (2t,r)-интерполируемым, тогда вычисленный вектор погрешности может быть некорректным. Следовательно, процессоры должны выполнить следующие действия. (Каждый выполняет эти операции локально, а все несбоящие процессоры выполняют одни и те же действия). Если вычисленный вектор погрешности, обозначаемыйсодержит более чемrненулевых элементов, то несомненноне является (2t,r)-интерполируемым и процессоры переходят к следующей итерации. Еслисодержит не болееrненулевых элементов, то процессоры все еще должны проверять, что- корректный вектор погрешности. Для этого пустьG_r- множество процессоровP_iтакое, чтоe_i=0, тогда процессоры повторно вычисляют синдром, основанный только наG_r. Если повторно вычисленный синдром представляет собой одни нули, тогдаявляется (2t,0)-интерполируем и процессоры выдаютG_rи заканчивают. Если повторно вычисленный синдром ненулевой, тогда процессоры заключают, что- не является (2t,r)-интерполируемым и переходят к следующей итерации.

Далее опишем непосредственно протокол СОИМ. Пустьz_i,j- доляP_i' значения общего сP_j. Динамический вход каждого процессораP_iявляется следующим аккумулируемым множеством, обозначаемым какZ_i: как толькоP_iуспешно завершил субпротоколАРзПрдляP_j, пара (j,z_i,j) добавляется кZ_i. Общий выход сторон – это множествоGиз, по крайней мере, 3t+1 процессоров такое, что каждый несбоящий процессорP_iзавершает субпротоколАРзПрдля каждой стороны изG(а именно,G{P_j(j,z_i,j)Z_i}) иS_G– является (2t,0)-интерполируем.

Утверждение 3.1.Предположим, что протоколСОИМинициализируется с динамическими входамиZ₁,...,Z_nкак описано выше. Тогда все несбоящие процессоры завершают протоколСОИМс общим множествомGиз, по крайней мере, 3t+1 процессоров, такое, чтоS_Gявляется (2t,0)-интерполируемым.

Доказательство.Приведено в работе [Ca1].