30. Общая теория нормальных cду и ду n-го порядка.
- система ДУ (1), , - задача Коши (2)
Т. о продолжении решения системы (1): при выполнении условий т. Коши-Пикара в ограниченной замкнутой области решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (2), продолжаемо до тех пор, пока не достигнет границы.
Т. о гладкости решения системы (1): если
в ограниченной замкнутой области
функции
определены, непрерывны и непрерывно
дифференцируемы до k-го
порядка по совокупности переменных, то
всякое решение системы (1) в этой области
непрерывно и непрерывно дифференцируемо
по x по крайней мере
раз.
Т. о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий: пусть в области функции удовлетворяют условиям т. Коши-Пикара, тогда можно указать такой промежуток , в котором решение задачи Коши (2) непрерывно зависит от начальных условий.
Т. о непрерывной зависимости решения
задачи Коши от параметров: пусть система
имеет вид
,
.
Пусть в области
при изменении параметров в конечной
области функции
удовлетворяют условиям: 1) определены
и непрерывны по совокупности переменных;
2) удовлетворяют условиям Липшица; 3)
константа Липшица не зависит от
параметров, тогда можно указать такой
промежуток
,
в котором решение задачи Коши (2) непрерывно
зависит от параметров.
Т. о дифференцируемости решения задачи
Коши по начальным условиям и параметрам:
если в области
при изменении параметров в конечной
области
функции
удовлетворяют условиям: 1) определены
и непрерывны по совокупности переменных;
2) существуют непрерывные
;
3) существуют непрерывные
,
тогда задача Коши (2) имеет единственное
решение, которое определено в окрестности
,
непрерывно по совокупности переменных
и непрерывно дифференцируемо по
параметрам и начальным условиям.
Замечание: на основании того, что нормальную СДУ можно свести к уравнению n-го порядка, эти теоремы верны и для него.
31. Лсду в нф. Т. Коши-Пикара. Однородные и неоднородные системы. Некоторые свойства решений однородной системы.
- линейная система ДУ в нормальной форме
(1)
и
определены и непрерывны на
.
Запишем (1) в векторно-матричной форме:
.
Если все
,
то система однородная.
Т. Коши-Пикара: если
и
непрерывны на
,
то задача Коши для (1) при любых конечных
значениях
,
имеет единственное решение, определенное
на всем отрезке
.
Свойства решений однородной системы:
1) если
- решение, то и
- решение
2) если
и
- решения, то их сумма – решение
3) если
- решения, то их линейная комбинация –
решение
4) если система с действительными
коэффициентами имеет комплексное
решение
,
то
и
- тоже решения системы.
32. Лосду в нф. Линейная независимость n частных решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля.
- определитель Вронского, где i-ый
столбец соответствует i-ому
решению.
Т.: необходимое и достаточное условие линейной независимости n частных решений ЛОСДУ с непрерывными коэффициентами – отличие от 0 вронскиана хотя бы в одной внутренней точке .
Доказательство: 1) необходимость
Пусть
- линейно независимы, требуется доказать,
что
.
Пусть
,
.
Рассмотрим систему:
.
Относительно
получена линейная однородная алгебраическая
система с определителем, равным 0,
следовательно, существует ее нетривиальное
решение
.
Рассмотрим вектор-функцию
.
Она является решением системы, причем
удовлетворяющим нулевым начальным
условиям. Тем же нулевым начальным
условиям удовлетворяет и решение
.
По т. Коши-Пикара эти решения совпадают.
Таким образом, найдется коэффициент
,
следовательно, решение линейно зависимо
и найдено противоречие.
2) достаточность
Пусть
,
требуется доказать, что
- линейно независимы. Рассмотрим их
линейную комбинацию:
.
Составим систему
.
Относительно
получена линейная однородная алгебраическая
система с определителем, равным
,
следовательно, существует только
тривиальное решение. Таким образом, не
существует
,
следовательно, решение линейно независимо.
Эта теорема распространяется на произвольные системы функций.
Формула Остроградского-Лиувилля:
