26. Способы поиска чр лнду n-го порядка с ПеремК. Неоднородное ду Эйлера.
Способы поиска ЧР:
подбор в виде , или многочлена
метод Лагранжа
метод Коши
(1) - неоднородное уравнение Эйлера.
Т.: общее решение неоднородного уравнения Эйлера может быть получено в квадратурах.
Доказательство: общее решение соответствующего однородного уравнения может быть получено, исходя из теории, а частное решение неоднородного – методом Лагранжа.
Т.: если в (1)
имеет вид
,
то общее решение может быть получено
без квадратур.
Доказательство: сделаем замену
,
получим ДУ вида
.
В этом случае частное решение подбирается
методом неопределенных коэффициентов.
27. Системы обыкновенных ду. Каноническая и нормальная системы. Приведение ду n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной сду n-го порядка.
Система обыкновенных ДУ – система k
соотношений
(1), связывающих независимую переменную
x и k
неизвестных функций.
Порядок системы – сумма порядков старших
производных:
Система уравнений высших порядков, разрешенных относительно старших производных – каноническая.
(2).
Система (1) может быть приведена к виду
(2), если
Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных – нормальная.
(3).
Каноническая система (2) может быть
приведена к нормальной системе порядка
.
Примем все производные, стоящие справа
за новые неизвестные функции:
,
,
…,
,
…,
.
Получим систему:
.
Это и есть нормальная форма.
Т.: ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, приводится к нормальной СДУ n-го порядка.
Доказательство: пусть дано уравнение
,
введем новые функции:
,
,
…,
.
Тогда запишем систему:
.
28. Сду в нормальной форме. Решение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши.
- система ДУ (1)
- совокупность функций – решение (1). Функции решения непрерывно дифференцируемы, и обращают уравнения системы (1) в тождества.
Задача Коши – найти решение, удовлетворяющее
начальным условиям
,
(2). Общее решение зависит от n
произвольных постоянных:
.
Решение, выделяемое из общего заданием
начальных условий – частное решение.
График частного решения – интегральная
кривая в пространстве
.
Геометрическая постановка задачи Коши – провести интегральную кривую через заданную точку.
29. Сду в нормальной форме. Т. Коши-Пикара. Т. Пеано. Метод Пикара как приближенный метод решения зк.
- система ДУ (1), , - задача Коши (2)
Т. Коши-Пикара: пусть дано уравнение (1)
и поставлена задача Коши (2). Если в
области
выполняются условия: 1)
определены и непрерывны по совокупности
переменных; 2)
- удовлетворяют условию Липшица:
,
то решение задачи Коши существует и
единственно по крайней мере в окрестности
,
,
.
Доказательство: аналогично одномерному случаю.
1. ЗК эквивалентна решению системы
интегральных уравнений:
,
2. Строится последовательность пикаровских
приближений:
.
Каждое из приближений определено,
непрерывно и не выходит за пределы
области
3. Последовательность пикаровских
приближений сходится к непрерывной
функции
.
.
Методом матиндукции:
,
.
И так далее по индукции. k
заменяется на nk в силу
суммы в условии Липшица.
4. Совокупность
- решение задачи Коши
5. Построение решения единственно (от
противного).
,
.
Всегда можно выбрать
,
тогда неравенство не выполнится и
найдено противоречие.
Метод Пикара как приближенный метод решения ЗК
m-тое приближение
аппроксимирует точное решение.
Достаточное условие выполнения условия
Липшица – существование непрерывных
частных производных
.
Т. Пеано: если в области функции определены и непрерывны по совокупности переменных, то задача Коши имеет по крайней мере одно решение.