13. Лнду n-го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для отыскания чр. Т. Об интегрируемости.

- ЛНДУ n-го порядка. (1)

Метод Лагранжа: пусть - ФСР соответствующего однородного уравнения, следовательно . Будем искать частное решение в том же виде, но произвольные постоянные запишем в виде функций. Выбор функций должен удовлетворять уравнению, значит, на них можно наложить условие, лишь бы они были совместны. Найдем производные:

, , …, . Причем , …, , . Подставим все производные в (1): . Перегруппируем: . Разрешим систему относительно , ее определитель равен вронскиану и не равен 0, следовательно существуют единственные , а, значит, и единственные , т.е. частное решение находится единственным образом.

Т.: если на известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то общее решение ЛНДУ всегда находится в квадратурах.

14. Метод Коши отыскания чр лнду n-го порядка.

- ЛНДУ n-го порядка. (1)

. - специальное решение соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющее специальным начальным условиям: , (2) . Если известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то решение выделяется из общего посредством удовлетворения начальным условиям (2). .

Формула дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, по этому параметру:

Т.к. нижний предел – константа: , …, , . Подставим в (1): . Перегруппируем: . Это выполняется, т.к. - решение неоднородного уравнения.

Замечание: метод Коши дает ЧР линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Методы Лагранжа и Коши справедливы как для уравнения с постоянными, так и для уравнения с переменными коэффициентами.

15. Лнду n-го порядка с ПостК и специальной правой частью (спч) вида .Метод неопределенных коэффициентов.

- ЛНДУ n-го порядка. (1)

В общем случае специальная правая часть выглядит как (2). Что-то из этого может отсутствовать.

Т.: общее решение уравнения (1) с СПЧ (2) всегда может быть получено в элементарных функциях: . следует искать в виде (3), где , - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, , если - корень кратности , и , если - не корень. После подстановки (3) в (1) и сокращения на , приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и , и отдельно. Коэффициенты всегда можно найти и притом единственным образом.

Пусть СПЧ имеет вид , .

а) 0 – не корень

, , значит, . ЧР будем искать в виде . Подставим в (1): . Приравняем коэффициенты: . Система для определения коэффициентов . Ее определитель равен , значит, есть единственное решение.

б) 0 – корень кратности . Это значит, что , и , . В этом случае (1) примет вид . Сделаем замену , тогда и . Подберем ЧР для z в виде , т.е. . Проинтегрируем раз по x, и получим . Для простоты положим константы равными 0, тогда .

16. Лнду с ПостК и спч вида . Метод неопределенных коэффициентов.

- ЛНДУ n-го порядка. (1)

В общем случае специальная правая часть выглядит как (2). Что-то из этого может отсутствовать.

Т.: общее решение уравнения (1) с СПЧ (2) всегда может быть получено в элементарных функциях: . следует искать в виде (3), где , - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, , если - корень кратности , и , если - не корень. После подстановки (3) в (1) и сокращения на , приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и , и отдельно. Коэффициенты всегда можно найти и притом единственным образом.

Пусть СПЧ имеет вид , .

Сделаем замену , пересчитаем производную: , …, , подставим в (1). . Выпишем .

а) пусть - не корень

, значит, , и

б) пусть - корень кратности

, . Тогда коэффициенты , , …, , . Тогда , .