11. Лоду n-го порядка с ПостК. Метод Эйлера построения фср. Случай кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.

- ЛОДУ с постоянными коэффициентами (1).

Метод Эйлера построения ФСР:

При : ,

При : следует искать решение в виде . Подставим в (1): , . Чтобы уравнение имело решение, должно быть корнем характеристического многочлена.

1. Если среди корней есть кратные кратности . Тогда , . Число решений меньше n, значит надо искать решения в другом виде. , следовательно, - решение. . Корню соответствуют , , …, .

Т.: если имеет r корней кратности , , то оно имеет n линейно независимых на любом частных решений (*)

Доказательство (от противного): рассмотрим линейную комбинацию . Ее можно записать как . Для определенности, не уменьшая общности, предположим, что в есть не равный 0 коэффициент. Разделим тождество на , получим: и продифференцируем это тождество раз по x: . В найдется отличный от 0 коэффициент. Повторим процесс. В итоге получим , хотя оба множителя не равны 0. получено противоречие.

В случае действительных корней (*) составляет ФСР на любом . Если есть комплексный корень кратности , то есть и комплексно сопряженный корень той же кратности. Им соответствует совокупность решений. Выделяя их реальную и мнимую части, получим действительных решений для ФСР: , ,…, , , ,…, . Их линейная независимость доказывается аналогично случаю простых комплексно сопряженных корней.

Т.: общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами на любом может быть представлена в элементарных функциях в виде конечного числа квазиполиномов или с произвольными коэффициентами.

Замечание: число квазиполиномов определяется числом различных корней . Степень квазиполинома определяется кратностью соответствующего корня. Общее число коэффициентов всех квазиполиномов равно порядку уравнения.

12. Лнду n-го порядка. Т. О структуре ор. Нек. Св-ва решений. Принцип суперпозиции.

- ЛНДУ n-го порядка.

Т. о структуре общего решения: общее решение есть сумма .

Доказательство: пусть известно , . Сделаем замену , . . Следовательно, и z – решение соответствующего однородного уравнения. Пусть - ФСР однородного уравнения, докажем, что (1) - общее решение. Т.к. для (1) выполняются условия т. Коши-Пикара, то достаточно показать, что из для любого набора начальных условий можно выбрать частное решение. Составим систему . Относительно получена линейная неоднородная алгебраическая система с определителем, равному вронскиану для решения и потому отличному от 0. Следовательно, она имеет единственное решение, т.е. существует и единственно.

Некоторые свойства решений ЛНДУ.

1) Принцип суперпозиции. Пусть - решение , тогда будет решением уравнения . Это означает, что .

2) Если уравнение - комплекснозначная функция, причем все , и - действительные функции, имеет комплексное решение , где и - действительные функции. Тогда - решение уравнения , а - решение .

, , и .