8. Линейные ду n-го порядка. Фср. Теорема об общем решении лоду.
- линейное ДУВП.
(1)
ФСР – система n линейно
независимых на
частных решений ЛОДУ n-го
порядка
.
Т. о существовании ФСР: уравнение (1) с непрерывными на коэффициентами имеет ФСР на .
Доказательство: выберем
,
,
,
,
…,
,
.
Таким образом,
.
ФСР с
- нормированная в
.
ЛОДУ имеет бесконечное множество ФСР. При переходе от одной ФСР к другой вронскиан умножается на константу.
Т. об общем решении ЛОДУ (1): пусть
коэффициенты (1) непрерывны на
,
а
- ФСР, тогда
(2)
Доказательство: при любом наборе
это выражение будет решением. Покажем,
что для любых начальных условий из (2)
можно выделить частное решение.
.
Относительно
- линейная однородная алгебраическая
система уравнений с определителем
равным вронскиану, отличному от 0,
следовательно она имеет нетривиальное
решение.
Следствие: максимальное число линейно независимых решений равно порядку уравнения (1).
9. Задача о построении лоду по заданной фср.
Пусть
- система n раз
дифференцируемых, линейно независимых
на
функций и
.
Требуется составить ДУ, для которого
эти функции – ФСР. Т.к. любое решение
искомого уравнения должно быть линейно
зависимым с
,
то
.
Разложим его по последнему столбцу.
Коэффициент при
.
Таким образом, это будет уравнение n-го
порядка. При подстановке в него любого
решение в определителе будут 2 одинаковых
столбца, т.е. они будут решениями
уравнения.
Т.: пусть даны уравнения
(*) и
(**), где
непрерывны на
,
имеют одну и ту же ФСР, тогда (*) и (**)
тождественны, т.е.
.
Доказательство: пусть
.
В силу непрерывности коэффициентов,
они различаются и в некоторой окрестности
.
В этой окрестности
линейно независимы. Вычтем из (*) уравнение
(**), получим
(***). Пусть
- решение (*), следовательно
;
пусть
- решение (**), следовательно
.
Таким образом,
,
следовательно
- решение (***). Таким образом, порядка не
выше
,
а в окрестности
оно имеет n линейно
независимых решений. Найдено противоречие.
Следствие: ФСР однозначно определяет ЛОДУ с непрерывными коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице.
10. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения фср. Случай простых корней характеристического уравнения.
- ЛОДУ с постоянными коэффициентами
(1).
Т. Коши-Пикара: для любых конечных начальных условий решение задачи Коши существует и единственно на всей числовой оси.
Метод Эйлера построения ФСР:
При
:
,
При
:
следует искать решение в виде
.
Подставим в (1):
,
.
Чтобы уравнение имело решение,
должно быть корнем характеристического
многочлена.
1. Если
- простые различные действительные
корни, то каждому
.
Т.: функции
образуют ФСР на любом
.
Доказательство:
2. Если
различные простые корни, причем,
и
.
,
.
Решениями являются
,
,
,
.
Берут только первые 2 как линейно
независимые.
Т.: функции
,
,
линейно независима на любом
.
Доказательство: пусть это не так и эта
система линейно зависима, а
,
т.е.
,
получим
.
В итоге получим
.
Разделим на
и продифференцируем, повторим. В итоге
.
Следовательно,
- обнаружено противоречие.
Т.: функции
,
,
,
,
образуют ФСР на любом
Доказательство: рассмотрим линейную
комбинацию
.
Представим
,
.
Тогда линейная комбинация примет вид
.
По предыдущей теореме, эти функции
линейно независимы только тогда, если
все коэффициенты равны 0, т.е.
.