5.4 Методы построения начального опорного плана.

Сущест несколько методов: 1.северо-западн угла,2. Фогиля и 3.метод минимальн элемента. Метод минимальн.элемента учитывает цель транспорт зад, т.е минимиз трансп расход и строится план близко к оптимальн. Его сущность заключ в следующем: на каждом шаге осущест максимальн возможное перемещение груза в клетку с минимальн тарифом. Построен начальн опорн план в примере1,использует метод минимальн элемента. 3+4-1=6-число загружен клеток, план не вырожденный. Загружен или часть згружен этим планом клеток невозможно соединить замкнут циклом, поэтому план явл опорным.

	15	22	8	35
40
10
30

5.5. Определение оптимального плана тз методом потенциалов Дана модель транспортной задачи, в которой m поставщиков и n потребителей.(*)

f=(m,i=1)∑*(n,j=1)∑cijxj (min)

(m,j=1)∑xij=ai

(n,i=1)∑xij=bj

xij>=0,i=1,m, j=1,n

Для транспортной задачи (*) с m поставщиками и n потребителями двойственная задача будет иметь вид:

φ=(m,i=1)∑aiui+(n,j=1)∑bjvj (max)

ui+vj<=cij, i=1,m, j=1,n

Метод потенциалов основывается на следующей теореме.

Если для некоторого опорного плана транспортной задачи

х*=(х*ij)(m*n)-индекс за скобками снизу

существуют такие числа, как

ui*,i=1,m; vj*,j=1,n,

для которых выполняются соотношения(система):

ui*+vj*=cij при xij*>0

ui*+vj*<=cij при xij*=0 (2)

i=1,m, j=1,n

то опорный план х* будет оптимальным в исходной транспорной задаче.

Док-во:

Рассмотрим набор чисел ui*,i=1,m; vj*,j=1,n, удовлетворяющий ограничениям (2). Очевидно, что этот набор чисел будет планом задачи (1), т.к. эти числа удовлетворяют ограничениям задачи (1). В силу ограничений транспортной задачи (*) и в силу условий (2) для планов взаимодвойственых задач x*=(х*ij)(m*n)-индекс за скобками снизу и ui*,i=1,m; vj*,j=1,n выполняются условия, дополняющие недёсткости(теорема 5: для того, чтобы плана х*ср и н*ср двойственных задач 1 и 2 соотетственно были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение след равенств:

x*j*((m,i=1)∑aijy*i-cj)=0,j=1,n

y*i*((n,j=1)∑aijx*j-bi)=0,i=1,m

ui, i=1,m-потенциалы поставщиков

vj, j=1,n-потенциалы потребителей

такова идея метода потенциалов.

Алгоритм метода потенциалов.

1. по условиям задачи строим распределительную таблицу

2. если задача открытого типа, то приводим её к задаче закрытого типа, вводя либо фиктивного поставщика, либо фиктивного потребителя.

3. Строим невырожденный начальный опорный план

4. Каждому поставщику i ставим соответствующий потенциал ui,i=1,m, каждому потребителю j – потенциал vj, j=1,n. Вычисляем значения потенциалов. Для этого по загруженным клеткам составляем уравнения:

ui+vj=cij

Так как загруженных клеток (m+n-1), а число потенциалов (m+n), то получаем систему уравнений, состоящую из (m=n-1) уравнения с (m+n) переменными (xij>0).

Для того чтобы решить эту систему, любой из потенциалов полагаем равным 0.

Получается система из (m+n-1) уравнения с (m+n-1) переменными. Эта система имеет единственое решение, определяя потенциалы.

5. вычисляем оценки свободных клеток

sij=cij-(ui+vj) (для свободных xij=0)

если все оценки свободных клеток неотрицательны, т.е. sij>=0, то рассматриваемый опорный план транспортной задачи оптимальный.

6. в противном случае выбираем клетку, соответствующую минимальной отрицательной оценке. Эта клетка наз перспективной. Из перспективных клеток по загруженным или части загруженных клеток строим замкнутый цикл, который можно построить единственным образом.

7. Каждой вершине цикла приписываем знаки: вершине, соответствующей перспективной клетке, приписываем знак +, след - -, и т.д., чередуя знаки.

8. В клетках со знаком – выбираем наименьший груз. Этот груз прибавляем к грузу в клетках + и вычитаем из груза -. Получаем новый опорный план, для анализа которого переходим к пункту 4.

5.6. Усложнённые постановки трансп задач. При решении ряда конкрет трансп задач часто бывает необх учитывать доп требования.Напр, кроме трансп задач приходится учитывать себест-ть произ-ва прод-ции С_i в пункте а_i (поставщик явл произв-ем).Тогда в кач-ве тарифов рассм сумму С_i+С_ij или в оптим плане нек маршруты должны быть исключены.Для этого перед решением задачи соотв клетку блокируют, т.е. в этой клетке искусственно завыш тариф.В некоторых задачах опр поставщики связ с обяхательными перевозками.В этом случае обяз поставки планир-ся и в дальнейшем не учит-ся.Пример: Заводы 1, 2, 3 выпускают прод-цию в кол-ах 40, 20, 50 ед с себест-ю 5, 2,7 д.е.Прод-ция поставляется в пункты А, Б, В в кол-ах 30,25, 40ед с тарифами: . Прод-цию завода 1 необх распр полностью, 15 ед завода 3 предназнач для пункта Б. Сост наиб эконом план удовл-я потребностий прод-ции,учитывая затраты на её произ-во и доставку. 1)Учтём поставку 15 ед завода 3 в Б.Для этого сократим запас груза на заводе 3 на 15 ед и на столько же спрос в Б. Получив оптималь план, добавим эти 15 ед в клетку В2. 2)Запищем новую матрицу тарифов,учит-ю себест-ть и её доставку: . 3)Сравним общую сумму продукции, выпуск на заводах и общ потребность.Сумма произ прод-ции 40+20+50=110, а суммар потребности составят 100.Задача явл задачей откр типа, приводим её к закрытого типа. Для этого вводим в задачу фактив потребителя, приписывая ему потреб в прод-ции =10 и тарифы на перевозку прод-ции =0.Строим распр таблицу.

	А(30)	Б(10)	В(45)	Г(10)
№1(40)	20 8	10 7	10 14	5
№2(20)	10 3	9	8	10 2
№3(35)	11	10	9 35	7

U1=0, u2=-5, u3=-5; V1=8, V2=7, V3=14, V4=7.

X¹= . S₂₃=8-((-5)+14)=-1.

	A(30)	Б(10)	В(45)	Г(10)
№ 1(40)	30 8	10 7	=0 14	М
№ 2(20)	0 3	+ 9	10 8	10 2
№ 3(35)	+	+	35 9	+ 7

U1=5, U2=0, U3=1. V1=3, V2=2, V3=8, V4=2. X*=

Это задача трансп типа, в кот целевая Функция максимизируется, отсюда след особ-ти её особ-ти: 1)началь план отраж-ся по методу макс элемента; 2)условием оптимальности служит неположит-ть оценок своб клеток; 3)если план неоптималь, то в кач-ве перспективной выбир клетку с наиб положит оценкой.Других изменений нет.