- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
18. Геометрический смысл производной. Касательная.
Рассмотрим график функции у=f(x). Проведем к графику в точке М(х,у) касательную МТ. Рассмотрим ординату этой касательной для точки х+Δх
На рисунке МN=Δх, M1N=Δy
Рассмотрим треугольник MPNtg=PN/MNPN=MN∙tgPN=tg∙Δxtg=f '(х)
Поэтому PN=f '(x)∙Δx
Но по формулеdy=f '(х)∙Δх PN=dyДифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной графику функции этой функции.
Для того, чтобы f(x) имел касс-ю в т.(x,y(x)) необ-о и дост. сущ-е произв-й в т. y’(x).
y’(x)-tg угла наклона кас-й к оси OX
Сущ-е касательной означает, что сущ-ет предел сек-й.
19. Операции над дифференцируемыми функциями.
1) (u(x)+v(x))’=u’(x)+v’(x)
Δ(u(x)+v(x))=(u(x+Δx)+v(x+Δx))-(u(x)+v(x))= Δu+Δv
u’(x) v’(x)
2) (u(x)∙v(x))’=u’(x)∙v(x)+ u(x)∙v’(x)
Δ(u(x)∙v(x))=u(x+Δx)∙v(x+Δx)-u(x)∙v(x)=u(x+Δx)∙[v(x+Δx)-v(x)]+v(x)∙[u(x+Δx)-u(x)]
Δv Δu
Делим на Δx
u(x)∙v’(x)+v(x)∙u’(x)
3)
v(x)≠0
Если |Δx|<, то v(x+Δx)≠0
20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
Опр. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х по определению производной lim(Δy/Δx)=y'{при Δх0}
Отсюда по теореме «о связи функции, ее предела и б.м. функции»
Limf(x)=A{при хх0}f(x)+=A,0 и x0
Δy/Δx=y'+,где 0 и Δх0
Δу=Δх∙у'+Δх∙ (11.1.1)
Из равенства (11.1.1) видно, что произведение функции состоит из двух слагаемых, первое из которого у∙Δх – является главной частью приращения функции Δу.
Главная часть приращения функции пропорциональна приращению аргумента Δх и как говорят линейно относительно Δх.
Определение: Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная часть приращения функции. Дифференциал dy равен произведению производной у' на приращение аргумента, на Δх
dy=у'∙Δх (11.1.2)
Дифференциал dy называют так же дифференциалом первого порядка.
Дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у=х равен dy=dx=x∙Δx=Δx dx=Δx
Поэтому формулу (11.1.2) можно записать dy=y'∙dx. Из этой формулы можно получить dy/dx=y', т.е. обозначение производной dy/dx можно рассматривать, как отношение дифференциала dy к dx.
4) Итак дифференциал функции выражается одной и той же формулой, как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Таким образом дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, где аргумент может быть и независимой переменной.
Это свойство называется Инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала
dy=y’(x)∙dx
y’(x)=
y(x), x(t) y’(x(t))=y’(x)∙x’(t)
y(x), x(t)
dy(t)=y’(t)∙dt=y’(x)∙x’(t)∙dt=y’(x)∙dx
d(xa)=axa-1dx
d(u±v)=du±dv
d(u∙v)=u∙dv+v∙du
d()=
21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
Пусть Y=f(x) – взаимообратная функция x=(x).
Обратная теорема: Если функция Y=f(x) – строго монотонна на отрезке (а,в) и имеет в производной точку f '(x)0, то обратная ей функция x=(Y) имеет производную '(Y) в соответствующей точке. Причем: '(Y)=1/f '(x) или Xy '=1/Yx '
Теорема о произв. обратной функции.
Примечание: Таким образом функция равна обратной величине производной данной функции.
Правила дифференцирования обратной функции:
Yx '=1/Xy ' или dY/dX=1/(dX/dY)
1) y(x)=arcsinx
x(-1,1), y(x)(-,)
y’(x)=; x(y)=siny: [-,]→[-1,1]
x’(y)=cosy=
y’(x)=(x(-1,1))
y(x)=arccosx
x(y)=cosy [0,]→[-1,1]
x’(y)=-siny=-
y’(x)=-
(arcsinx)’=
(arccosx)’=-
arcsinx+arccosx=
2) y(x)=arctgx
x(y)=tgy (-,)→(-;+)
x’(y)=
(arctgx)’=(arcctgx)=-