10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.

Предл1. Если f(x) и g(x) имеют предел в т.а, то

Предл2.

Предл3.

2) Пусть f(x)<h(x)g(x) в нек. окр-ти т.а

Пусть x_n→a, x_na

f(x_n)→A, g(x_n)→A

f(x_n)h(x_n)g(x_n)

A

Поскольку x_n-послед-ть произв-, то => что

Пр2. - для того чтобы оно вып-сь необх. и дост.,

11. Предел сложной функции.

Th. Пусть ф-ция f задана на множестве X, функция g-на множестве Y и f(X)Y. Если сущ-ет конечные или бесконечные пределы.

,

то при x→x₀ сущ-т предел (кон-й или беск-й) сложный функции g[f(x)], причем

Пусть x_n→x_0, x_nX, n=1,2,…; тогда в силу (1) имеем y_n=f(x_n)→y_0, y_nY, n=1,2,…

Поэтому в силу (2) g(y_n)→z₀, но y_n= f(x_n) => g[f(x_n)]→z₀, n=1,2,.., т.е. имеет место рав-во (3).

Зам1. Если ф-ция g непр-на в точке y₀, т.е. ,

то формулу (3) можно записать виде

Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непр-ой ф-ции. В самом деле согласно Th. .

Отсюда => в частности что непре-ая ф-ция от непр-й ф-ции непр-на, точнее:

След. Если ф-ция f непр-на в точке x₀, а ф-ция g непр-на в точке y₀=f(x₀), то и их композиция g°f непрерывна в точке x₀.

Действительно, непрерывность ф-ции f в точке x₀ означает, что

Поэтому в силу непр-ти ф-ции g в точке y₀ из формулы (5) получим

,

т.е. ф-ция g°f непр-на в точке x_0.

Зам2. Обычно, когда говорят, что некоторая ф-ция в данной точке имеет предел, что имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.

12. Первый замечательный предел.

sin 0=0

sinx~x в т.0!

Д-во:

I. x(0,)

tgx=cd

S∆oda<S_{секторa}oda<S∆odc

S=

sinx<x<tgx

ab<ad<cd

sinx<x< <1<

cosx<<1

lim cosx=1

II. x(-,0)

x=-t t(0,) ==

13. Второй замечательный предел.

x_n→∞

1) x_n-натуральные значения

1,2,1,3,2,4,3

Для  N: n>N ||<

x_n-б.б. то K n>K x_n>N

>0 K n>K ||<

2) x_n>0 начин. с некот. n

[x_n]-целая часть

[x_n]≥ x_n-1=> [x_n]-б.б. посл.

≤≤

∙

3) x_n<0 начин. с некот. n

x_n=-1-z_n z_n=-1-x_n

4) общая послед-ть x_n-произв-е

x_n+-положительные x_n—-отрицательные

14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.

Две б.м. функций сравниваются между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

Пусть при хх₀ функции (х) и (х) являются б.м., т.е. Lim(х){при хх₀}=0 и Lim(х){при хх₀}=0, тогда Правила:

1)Если Lim(х)/(х){при хх₀}=0, то (х) – б.м. более высокого порядка, чем (х).

2)Если Lim(x)/(х){при хх₀}=А0, то (х) и(х) – б.м. одного порядка.

3)Если Lim(х)/(х){при хх₀}=1, то (х) и (х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому

4)Если Lim(х)/bⁿ (х){при хх₀}=А0, то (х) – б.м. n-го порядка относительно (х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х∞, х+\-∞, хх₀+\-. Существует аналогичное правило.

1) Если α(x)=(β(x)) в т.а

то α(x)+β(x)~ β(x) в т.а

=> они эквивалентны

2) α(x),β(x) б.м. в а

α(x)∙β(x)= (α(x))

3) α(x)~α₁(x)

β(x)~β₁(x) в т. а

M(x), N(x) б.б. в а

Для раскрытия неопределённостей вида [0/0] часто бывает полезным применить принцип замены б. м. эквивалентными.

1.sin x~ x при х->0

2.tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~x

(1- cos x)~ x

e^x-1 ~x

a^x-1 ~xlna

ln(1+x)~x

log_а(1+x)~ xlog_аe

(1+x)к -1~kx, k>0