- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
15. Пределы степенно-показательных функций.
(x)=|(x-a)|p
(x)=|(x-a)|q
Если p>q то (x) б.м. более выс. пор-ка
Если (x) одного порядка с (x-a)n | (x) б.м. пор-ка n в т.А
(x)=3x2-x5 б.м. в О
(x)=5x2+x7 б.м. в О
16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
1) Рациональные ф-ции-ф-ции f(x), представимые в виде , гдеP(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) не нулевой многочлен). Ф-ция f(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех её точек, в которых знаменатель Q(x) обращается в ноль.
Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.
Th. Рациональная ф-ция, гдеP(x) и Q(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых Q(x)0.
Это следует из непр-ти многочленов P(x) и Q(x) на всей числовой оси и непрер-ти частного непрер-ых ф-ций во всех точках, в кот-х знам-ль не обр-ся в нуль.
2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.
Алгебр-е +sinx, + ex
элем-е ф-ции
3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)
Иррац-е ф-ции, т.е. такие ф-ции, не явл-ся рацион-ми, кот-е могут быть заданы композицией конечного числа рациональных ф-ций, степ-х ф-ций с рацион-ми показателями и 4-х арифмет-х действий.
4) Элем-е. Ф-ция: линейная y=c (с-постоянная), степенная y=x, R, показательная y=ax, a>0, логарифмическая y=logax, a>0, a1, тригонометрические ф-ции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx и обратные тригонометрические ф-ции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx называются основными элементарными ф-циями.
Всякая ф-ция f, кот-я может быть задана с пом-ю формулы y=f(x), содержащей лишь конечное число арифмет-х опер-й над основными элемент-ми ф-циями и композицией, называется элементарной ф-цией.
Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.
5) Нередко в мат. анализе встреч-ся ф-ции . Они имеют специальные названия: первая из них назыв-ся гиперболический синус и обозначаетсяshx, а вторая - гиперболический косинус chx. Таким образом,
Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,
Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения
x=a cht, y=a sht, a>0, -<t<+, явл-ся, в силу формулы (3), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x2-y2=a2, подобно тому, как уравнения
x=a cost, y=a sint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружности x2+y2=a2.
17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
Опр1. Функция f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде
,
где A – некоторое число, не зависящее от x, а - функция аргументаx, являющаяся бесконечно малой при x 0.
Т.к. произведение двух бесконечно малых x является бесконечно малой более высокого порядка, чем x, то можно определение переписать ;(А = f ’(x)).
Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.
A=y’(x)
1) y’(x)-сущ-ет.
∆y(x)=y’(x)∙∆x+(∆x)
2) Пусть ф-ция диф-ма
∆y=A∙∆x+(∆x) |:∆x
y’(x)=A
Опр2. Производной ф-ией y=f(x) в точке хназ. предел прих0 отношения приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует)
Обозначение:.
По определению =lim.
Ф-ия , имеющая производную в каждой точке интервала (а,в) наз. дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной ф-ии наз. дифференцированием.
Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.
Предл. Если ф-ция y(x) дифф-а в т.х. то она непр-на
∆y=A∙∆x+(∆x)
∆x→0
Замеч. Обратное утверждение не верно, ф-ция может быть непр-на, но не дифф-а.
y=|x| x=0
y(0)=0
∆y=|∆x|
∆y=y(0+∆x)-y(0)
не => она не дифф-ма.